一，不等式

二，多项式、函数、方程

三，其他代数

四，精选习题

一，不等式

⑨范数不等式

m>p>0, 则

$\left ( \sum_i |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} \geq \left ( \sum_i |x_i|^m \right )^\frac{1}{m}$

当且仅当xi中至多有1个不为0时，不等式取等号。

二，多项式、函数、方程

三，其他代数

四，精选习题

1， $0\leq x_1<1,x_{n+1}=\left\{\begin{matrix} 0,x_n=0\\ \{\frac{1}{x_n}\},x_n\neq 0 \end{matrix}\right.$ ，证明 $x_1+x_2+...+x_n<\frac{F_1}{F_2}+\frac{F_2}{F_3}+...+\frac{F_n}{F_{n+1}}$ ，其中F是斐波那契数列

2，设 $f(x)=||...||x^{10}-2^{2007}|-2006|-...-2^2|-2|$ ，求f(2007)

3，设 $(1+x+x^2+...+x^{p-1})p+1=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{p^2-1}x^{p^2-1}$ ，其中p是奇素数，求 $a_0+a_p+a_{2p}+...+a_{p^2-p}$

4，设a,b,c,d,e,f是实数，且 $ax^2+bx+c\geq |dx^2+ex+f|$ 恒成立，求证： $4ac-b^2\geq |4df-e^2|$

5，给定n个实数 $a_1,a_2,...,a_n$ ，已知 $\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{i+j}=\frac{4}{2j+1}$ 对于j=1,2,3,...,n都成立，求 $\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{2i+1}$

6，证明：存在正整数到正整数的映射f，f严格递增，且f(f(n))=kn，k为给定正奇数

7， $a_n=\{\sqrt 5n\}$ ，求前2009项中的最大项和最小项

8， $S_1,S_2,S_3...$ 是一个严格递增的正整数数列， $S_{S_1},S_{S_2},S_{S_3}...$ 和 $S_{S_1+1},S_{S_2+1},S_{S_3+1}...$ 都是等差数列，求证 $S_1,S_2,S_3...$ 是等差数列（IMO）

9，α= $\frac{\sqrt 5+1}{2}$ ，f(x)是连续函数，且f(αx+y)+f(αy+z)+f(αz+x)=αf(x+y+z)+2(f(x)+f(y)+f(z))，求f

10，a为常数， $f_0(x)=1,f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax)$ ，证明 $f_n(x)=x^nf_n(\frac{1}{x})$

11，求g(x)和f(x)，使得f(x)严格递增，且满足f(x+y)=f(x)g(y)+f(y) ①

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