洛谷 P1562 智破连环阵题解（搜索）

传送门

根据勾股定理：

一个武器 (x,y)(x,y)(x,y) 能被炸弹 (u,v)(u,v)(u,v) 攻击到 ⇔(x−u)2+(y−v)2<=k2\Leftrightarrow (x-u)^2+(y-v)^2<=k^2⇔(x−u)2+(y−v)2<=k2

通过这个条件，对每个炸弹求出一个 mmm 位的 bitset 表示范围内武器集合。

我们考虑简化摧毁武器的过程，发现每次都是摧毁一段连续区间内的武器。即：将 mmm 个武器分成若干个连续区间，按顺序每次摧毁其中 111 个。

那么就想到搜索。搜索区间的划分方案。

dfs(i,cnt,lst)dfs(i,cnt,lst)dfs(i,cnt,lst) 表示考虑到第 iii 个位置，当前区间左端点是 lstlstlst，lstlstlst 之前划分了 cntcntcnt 个区间的最小答案。
每次考虑当前是否开一个新区间，转移到 dfs(i+1,cnt,lst)dfs(i+1,cnt,lst)dfs(i+1,cnt,lst) 和 dfs(i+1,cnt+1,i+1)dfs(i+1,cnt+1,i+1)dfs(i+1,cnt+1,i+1)。

考虑对于一个区间划分方案，每个区间都对应一个唯一的炸弹。那么可以将 nnn 个炸弹和 cntcntcnt 个区间看作节点。若炸弹可以摧毁一个区间，则两者连边，构造二分图。若：二分图最大匹配数 = cntcntcnt，那么这个区间划分方案就是合法的，使用炸弹个数 = cntcntcnt。

对于二分图的匹配，我们用匈牙利算法解决。这里就不解释匈牙利算法了，可以自行搜索。在搜索的同时，每次新开一个区间 [lst,i][lst,i][lst,i]，就用匈牙利算法去找是否存在炸弹可以和这个区间匹配。如果是，就可以转移。最后答案就是最小区间个数。

以上是搜索的思路，在实现时还要加入优化。

可以提前 O(nm2)O(nm^2)O(nm2) 预处理,对于每个区间 [l,r][l,r][l,r]，包含 [l,r][l,r][l,r] 的炸弹列表。若当前要将 [lst,i][lst,i][lst,i] 划成一个区间，在二分图上就对应这个列表里的所有炸弹，实时匈牙利算法 check 一下，如果 check⁡(lst,i)=false\operatorname{check}(lst,i)=falsecheck(lst,i)=false，那么就剪枝。因为当前 [lst,i][lst,i][lst,i] 无法匹配，说明后面 [lst,i+j],∀0<=j<=m−i[lst,i+j],\forall{0<=j<=m-i}[lst,i+j],∀0<=j<=m−i 也一定无法匹配。不存在合法方案。
A* 剪枝，倒序预处理 mn[1...m]mn[1...m]mn[1...m]，表示从 iii 开始，[i,m][i,m][i,m] 这个区间内所有武器最小要用几个炸弹爆破（相同炸弹可以多次使用）。可以 O(m2)O(m^2)O(m2) 暴力预处理 mnmnmn 数组，dfs 时若 cnt+mn[lst]>=anscnt+mn[lst]>=anscnt+mn[lst]>=ans，其中 ansansans 表示当前最优答案。说明答案不会更优，进行最优性剪枝。
每个 dfs 状态，如果 check⁡(lst,i)=true\operatorname{check}(lst,i)=truecheck(lst,i)=true，可以转移，那么先搜索 dfs(i+1,cnt,lst)dfs(i+1,cnt,lst)dfs(i+1,cnt,lst)，再搜索 dfs(i+1,cnt+1,i+1)dfs(i+1,cnt+1,i+1)dfs(i+1,cnt+1,i+1)，这样更容易先搜到最优答案。

加上这些优化后就能高效地水过通过。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define F first
#define S second
using namespace std;
int n,m,K,x[205],y[205],to[105][105],mn[105],ans;//to表示二分图匹配中区间对应的炸弹
pii mch[105];//炸弹在二分图匹配中对应的区间
bitset<105> a[105];
vector<int> v[105][105];
bool used[105],link[105][105];
bool check(int l,int r,bool f=1)//匈牙利算法核心代码
{if (f)//初始化used数组fill(used,used+m,0);for(auto u:v[l][r])if (!used[u]){used[u]=1;if (mch[u].F==-1||check(mch[u].F,mch[u].S,0))//如果当前炸弹没有用过或其对应的区间可以用别的炸弹处理，则可以用这个炸弹处理当前区间[l,r]{mch[u]=mp(l,r);to[l][r]=u;return 1; }}return 0;
}
void dfs(int i,int cnt,int lst)
{if (i==n-1){if (check(lst,i)){ans=min(ans,cnt+1);mch[to[lst][i]]=mp(-1,-1);}return;}if (cnt+mn[lst]>=ans)//A*最优性剪枝return;if (check(lst,i))//可以转移{mch[to[lst][i]]=mp(-1,-1);dfs(i+1,cnt,lst);//不新增区间}if (check(lst,i)){dfs(i+1,cnt+1,i+1);//新增区间mch[to[lst][i]]=mp(-1,-1);//回溯}
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr);cin>>n>>m>>K;//代码n和m的定义与题面相反for(int i=0;i<n+m;i++)cin>>x[i]>>y[i];for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<n;j++)if ((x[n+i]-x[j])*(x[n+i]-x[j])+(y[n+i]-y[j])*(y[n+i]-y[j])<=K*K)a[i][j]=1;//处理bitsetfor(int i=0;i<m;i++)//预处理区间[l,r]可以对应的炸弹列表{for(int l=0;l<n;l++)  for(int r=0;r<n;r++)link[l][r]=0;for(int l=0;l<n;l++)if (a[i][l]){link[l][l]=1;v[l][l].pb(i);}for(int r=1;r<n;r++)for(int l=r-1;l>=0;l--)if (link[l][r-1]&&a[i][r]){link[l][r]=1;v[l][r].pb(i);}}for(int i=n-1,j=n-1,cnt=0;i>=0;i--)//预处理mn数组{while(j>=i){int p=j;while(p>=0&&!v[p][j].empty())//贪心，每次取可能大的区间覆盖当前位置--p;j=p;++cnt;}mn[i]=cnt;}memset(mch,-1,sizeof(mch));memset(to,-1,sizeof(to));ans=m;dfs(0,0,0);cout<<ans<<endl;return 0;
}

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