信息学奥赛一本通（1237：求排列的逆序数）

1237：求排列的逆序数

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【题目描述】

在Internet上的搜索引擎经常需要对信息进行比较，比如可以通过某个人对一些事物的排名来估计他（或她）对各种不同信息的兴趣，从而实现个性化的服务。

对于不同的排名结果可以用逆序来评价它们之间的差异。考虑1,2,…,n的排列i1，i2，…，in，如果其中存在j,k，满足j<k,且ij>ik，那么就称(ij,ik)是这个排列的一个逆序。

一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。显然，由1,2,…,n 构成的所有n!个排列中，最小的逆序数是0，对应的排列就是1,2,…,n；最大的逆序数是n(n−1)/2，对应的排列就是n,(n−1),…,2,1。逆序数越大的排列与原始排列的差异度就越大。

现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

【输入】

第一行是一个整数n，表示该排列有n个数（n<=100000)。

第二行是n个不同的正整数，之间以空格隔开，表示该排列。

【输出】

输出该排列的逆序数。

【输入样例】

6
2 6 3 4 5 1

【输出样例】

【分析】

这道题，首先能想到的就是枚举，i∈[0,n-1]，j∈[i+1,n]，约束条件：a[i]>a[j]，计数+1，然而n的数据范围是10^5，直接枚举，O(n^2)，铁定超时。正确率60%的代码如下：

//60% 的超时版
#include <stdio.h>
#define N 100010
int a[N];int main()
{int i,j,n,cnt=0;scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);for(i=0;i<n-1;i++){for(j=i+1;j<n;j++){if(a[i]>a[j])cnt++;}}printf("%d\n",cnt);return 0;
}

该题放到的分治法，显然可以用到归并排序，在归并排序的过程中，计算逆序对。归并排序算法的效率是O(n*lgn)。

以样例数据为例，先将263451划分为两个部分，第一部分263，第二部分451，假设现在两个部分均已排序完毕，第一部分为236，第二部分为145，则令i=2，j=1，比较i，j的值，统计逆序对。可以找出(2,1),(3,1),(6,1),(6,4),(6,5)。同理在递归排序第一部分时，可以找出(6,3)，递归排序第二部分时，可以找出(4,1)和(5,1)。

【参考代码】

#include <stdio.h>
#define N 100010
long long a[N],tmp[N];
long long cnt;void merge(long long left,long long mid,long long right)
{long long i,j,k;i=left;j=mid+1;k=left;while(i<=mid && j<=right){if(a[i]>a[j]){cnt+=j-k;tmp[k++]=a[j++];}else{tmp[k++]=a[i++];}}while(i<=mid)tmp[k++]=a[i++];while(j<=right)tmp[k++]=a[j++];for(i=left;i<=right;i++)a[i]=tmp[i];
}
void merge_sort(long long left,long long right)
{long long mid;if(left==right)return;mid=(left+right)/2;merge_sort(left,mid);merge_sort(mid+1,right);merge(left,mid,right);
}
int main()
{int i,n;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);merge_sort(1,n);printf("%lld\n",cnt);return 0;
}

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1237