单源最短路径Dijkstra算法的思想、详细步骤、代码

2024-03-30 03:45:45

目录

一、算法思想

二、算法详细步骤

三、伪代码 + C++代码

四、算法复杂度分析

五、算法改进

六、应用案例

一、算法思想

1、Dijkstra 算法是用来求解单源最短路径问题的经典算法，其本质上是一个贪心算法。

（PS: 求任意两个结点之间最短路径的有 Floyd 算法）

2、算法的基本思想是：设置一个顶点集合 S 并不断地做贪心选择来扩充这个集合。

3、该算法适用：1）边权为正，2）有向无向都适用。

有一些相关的性质：

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的结点。
对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的边。
对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，任意一条的结点数不会超过 n ，边数不会超过 n - 1 。

二、算法详细步骤

假设：

1）已知带权图 G = (V, E)

- V: 顶点(Vertex)的集合

- E: 边(Edge)的集合

- 边 e = (u, v), u V, v V

2）一个顶点属于S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

3) 数据结构：数组d，为记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度（源v0到该顶点）。

算法步骤：

1、S 中初始时仅包含源 v0

2、从顶点集合 { V - S } 中选取最短特殊路径长度最短的顶点，并将其加入 S

3、对数组 d 进行更新（更新条件：若源 v0 通过某个顶点到该顶点的路径比原先 d 数组保存的小）

三、伪代码 + C++代码

1、伪代码

清除所有点的标号  // 属于集合S的标记
设d[0] = 0， 其他d[i] = INF  // initial
循环n次 {在所有未标号结点中，选出d值最小的结点x  // 从{V - S}中选出从源出发距离最短的顶点给结点x标记  // 加入集合S对于从x出发的所有边（x，y），更新d[y] = min{d[y], d[y]+w(x, y)}  // 更新所有x的出边顶点
}

2、C++代码实现

memset(v, 0, sizeof(v));
for(int i = 0; i < n; i++) d[i] = (i==0 ? 0 : INF);
for(int i = 0; i < n; i++) {int x, m = INF;for(int y = 0; y < n; y++) if(!v[y] && d[y]<=m) m = d[x=y];v[x] = 1;for(int y = 0; y < n; y++) d[y] = min(d[y], d[x] + w[x][y]);
}

四、算法复杂度分析

五、算法改进

六、应用案例

更新：2021年5月3日

未完，待续。。。

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