一、物理模型

1.引入库

2.透视投影模型

3.主点偏移

4.图像传感器特性

5.径向畸变

6.相机外参

二、模型求解

1.内参和单应矩阵关系

三、matlab求相机参数

1、应用程序中找到Camera Calibration编辑

2、添加标定板拍摄图片（按Ctrl可一次添加多张）

编辑

3、输入棋盘格每格的尺寸大小

4、显示已检测出的棋盘格，点击Calibration，开始标定。

编辑5、得到标定结果（平均误差小于0.5即可认为结果可靠，这里得到的结果是0.49）

6.标定结果

编辑

四、python代码标定

标定结果：

一、物理模型

1.引入库

相机为什么需要标定呢？任何理论物理模型都是在特定假设上对真实事物的近似，然而在实际应用中存在误差，普通相机的成像模型也不例外（透视投影）。实际中，普通相机成像误差的主要来源有两部分，第一是sensor制造产生的误差，比如sensor成像单元不是正方形，sensor歪斜；第二是镜头制造和安装产生的误差，镜头一般存在非线性的径向畸变；镜头与相机sensor安装不平行，还会产生切向畸变。

2.透视投影模型

普通相机的成像模型一采用小孔成像，初中的物理知识告诉我们，就是那个蜡烛成像实验，物体经小孔后，在成像平面成倒立的像。为了更好的进行理论阐述，一般默认采用虚拟成像平面（virtual image plane）进行分析。Matlab官方有张很形象的图片：

将小孔成像模型简化成几何表达的形式：

在理想情况下，根据简单的相似三角形几何知识，可以推出3D目标点在相机坐标系下的坐标与图像像素坐标之间的关系，如公式1-1：

f是焦距，X、Y、Z是3D点在相机坐标系坐标，u，v是图像坐标；
上述公式写成齐次坐标为：

λ为尺度因子，同一条投影线上的点都满足上述关系，只是λ不同而已；在不换sensor情况下，想增大物体分辨率，其实只要把相机靠近一点就行。

3.主点偏移

主点是光轴和相机成像平面的交点，1.2节考虑的是理想成像情况，图像坐标系和相机坐标系原点重合，因此不存在坐标系偏移。但是在实际情况中，图像坐标系往往在图片的左上角，光轴过图像中心，因此图像坐标系和相机坐标系不重合。两个坐标系之间存在一个平移运动（如图）：

考虑主点偏移后，图像坐标和3D在相机坐标系坐标的关系为：

主点偏移后，透视投影模型的的齐次坐标表达为：

4.图像传感器特性

图像传感器像原尺寸在制造过程可能不是正方形，同时可能存在歪斜（skewed），因此需要考虑这些影响因素，传感器歪斜和不是正方形主要对相机x和y方向的焦距产生影响，数学表达见公式：

在不考虑畸变的情况下，考虑主点偏移、图像传感器的特性，3D目标点成像数学模型用公式（1-5）可完全表达。这就是相机内部参数对成像的影响，因此K称为内参矩阵，相机内参标定主要是标定相机的焦距、主点、歪斜等内部参数.

5.径向畸变

透过镜头边缘的光线很容易产生径向畸变，光线离镜头中心越远，畸变越大。

6.相机外参

相机往往装在机械臂末端，移动小车前方，车辆四周，当我们需要知道成像平面内的物体在机器人或者车辆坐标系下的位置时，需要进行一个坐标转换，称为外参（Extrinsic parameters），它与相机制造、镜头畸变没有任何关系，只与相机在世界坐标系内的安装位置和角度有关。从纯数学的角度来说，刚体运动和坐标变换总是可以分解为一个旋转运动和一个平移运动。

因此世界坐标系下的点P与图像坐标的关系可以表达为：

相机标定就是标定内参和外参，通过一种理论数学模型和优化的手段来近似实际的物理成像关系。

二、模型求解

1.内参和单应矩阵关系

空间中的3D点投影到图像上的关系为：

其中,图像齐次坐标ⅲ=[v,v,1,3D点齐次坐标M=[Y,Y,Z,s为尺度因子,A为相机内参矩阼,[R切为外参矩阵。
一般我们都会用标定板来标定，所有的特征点都在一个平面上，不失一般性，可以假设这个平面的空间Z坐标为0，将外参R矩阵写成列向量的形式为：

因为Z=0，可以去掉r3列向量，化简为：

因此，空间3D点和图像坐标之间通过一个单应矩阵H（homography）联系在一起，单应矩阵如下:

由于向量r1与r2正交且长度都为1，因此可以得出以下关系：

2.闭环求解

V是只由单应矩阵决定的已知量，求解上述线性方程，就可以得到向量b，矩阵B。向量b包含6个未知量，V是2n x 6矩阵，n代表单应矩阵个数（或者图像张数），所以至少需要采集三张不同位置或者角度的图像，才能求解上述方程。实际中，为了降低误差，会采集15-20张图像。

相机内参A和B矩阵的关系（根据公式2-8），推出如下：

三、matlab求相机参数

1、应用程序中找到Camera Calibration

2、添加标定板拍摄图片（按Ctrl可一次添加多张）

3、输入棋盘格每格的尺寸大小

4、显示已检测出的棋盘格，点击Calibration，开始标定。

5、得到标定结果（平均误差小于0.5即可认为结果可靠，这里得到的结果是0.49）

6.标定结果

四、python代码标定

代码如下：

import cv2
import numpy as np
import glob# 找棋盘格角点
# 阈值
criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
#棋盘格模板规格
w = 11  #内角点个数，内角点是和其他格子连着的点
h = 8# 世界坐标系中的棋盘格点,例如(0,0,0), (1,0,0), (2,0,0) ....,(8,5,0)，去掉Z坐标，记为二维矩阵
objp = np.zeros((w*h,3), np.float32)
objp[:,:2] = np.mgrid[0:w,0:h].T.reshape(-1,2)
# 储存棋盘格角点的世界坐标和图像坐标对
objpoints = [] # 在世界坐标系中的三维点
imgpoints = [] # 在图像平面的二维点images = glob.glob('./camera/01.jpg') # 标定所用图像
for fname in images:img = cv2.imread(fname)gray = cv2.cvtColor(img,cv2.COLOR_BGR2GRAY)# 找到棋盘格角点# 棋盘图像(8位灰度或彩色图像)  棋盘尺寸  存放角点的位置ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, (w,h),None)# 如果找到足够点对，将其存储起来if ret == True:# 角点精确检测# 输入图像 角点初始坐标 搜索窗口为2*winsize+1 死区 求角点的迭代终止条件cv2.cornerSubPix(gray,corners,(11,11),(-1,-1),criteria)objpoints.append(objp)imgpoints.append(corners)# 将角点在图像上显示cv2.drawChessboardCorners(img, (w,h), corners, ret)cv2.imshow('findCorners',img)cv2.waitKey(1000)
cv2.destroyAllWindows()
#标定、去畸变
# 输入：世界坐标系里的位置 像素坐标 图像的像素尺寸大小 3*3矩阵，相机内参数矩阵 畸变矩阵
# 输出：标定结果 相机的内参数矩阵 畸变系数 旋转矩阵 平移向量
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)
# mtx：内参数矩阵
# dist：畸变系数
# rvecs：旋转向量 （外参数）
# tvecs ：平移向量 （外参数）
print (("ret:"),ret)
print (("mtx:\n"),mtx)        # 内参数矩阵
print (("dist:\n"),dist)      # 畸变系数   distortion cofficients = (k_1,k_2,p_1,p_2,k_3)
print (("rvecs:\n"),rvecs)    # 旋转向量  # 外参数
print (("tvecs:\n"),tvecs)    # 平移向量  # 外参数
# 去畸变
img2 = cv2.imread('camera/01.jpg')
h,w = img2.shape[:2]
# 我们已经得到了相机内参和畸变系数，在将图像去畸变之前，
# 我们还可以使用cv.getOptimalNewCameraMatrix()优化内参数和畸变系数，
# 通过设定自由自由比例因子alpha。当alpha设为0的时候，
# 将会返回一个剪裁过的将去畸变后不想要的像素去掉的内参数和畸变系数；
# 当alpha设为1的时候，将会返回一个包含额外黑色像素点的内参数和畸变系数，并返回一个ROI用于将其剪裁掉
newcameramtx, roi=cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx,dist,(w,h),0,(w,h)) # 自由比例参数dst = cv2.undistort(img2, mtx, dist, None, newcameramtx)
# 根据前面ROI区域裁剪图片
x,y,w,h = roi
dst = dst[y:y+h, x:x+w]
cv2.imwrite('calibresult01.jpg',dst)# 反投影误差
# 通过反投影误差，我们可以来评估结果的好坏。越接近0，说明结果越理想。
# 通过之前计算的内参数矩阵、畸变系数、旋转矩阵和平移向量，使用cv2.projectPoints()计算三维点到二维图像的投影，
# 然后计算反投影得到的点与图像上检测到的点的误差，最后计算一个对于所有标定图像的平均误差，这个值就是反投影误差。
total_error = 0
for i in range(len(objpoints)):imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist)error = cv2.norm(imgpoints[i],imgpoints2, cv2.NORM_L2)/len(imgpoints2)total_error += error
print (("total error: "), total_error/len(objpoints))

标定结果：

[0.00000000e+00 2.86802995e+03 1.35419981e+03]
[0.00000000e+00 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]
dist:
[[ 1.54130915e-03 -2.99222555e-02 3.69680166e-04 -2.93886525e-04
4.06423631e-01]]
rvecs:
(array([[-0.12592551],
[-0.03422657],
[ 0.03250296]]), array([[-0.10876915],
[-0.49338794],
[-2.45467187]]), array([[-0.54473033],
[ 0.19837985],
[ 2.40103069]]), array([[-0.26610585],
[ 0.30957221],
[ 0.26237148]]), array([[-0.62768131],
[ 0.52836951],
[ 1.60555811]]), array([[-0.24387772],
[ 0.48426986],
[ 0.94096359]]), array([[-0.54301368],
[ 0.22243723],
[ 0.56651674]]), array([[-0.29992896],
[ 0.16366412],
[ 0.28594309]]), array([[ 0.56868496],
[-0.23488729],
[-3.03128871]]), array([[-0.24993186],
[ 0.62126965],
[ 3.03176551]]), array([[-0.27464255],
[-0.55132814],
[-2.47564527]]), array([[-0.15638079],
[-0.42207242],
[-2.76375565]]), array([[-0.01682992],
[-0.54842287],
[-2.94770157]]), array([[-0.15743943],
[ 0.46689365],
[ 2.89389881]]))
tvecs:
(array([[-5.12251476],
[-3.27783059],
[17.91535082]]), array([[ 1.31090942],
[ 3.31490161],
[15.4529997 ]]), array([[ 6.72771045],
[-0.9946229 ],
[19.56335925]]), array([[-4.34219433],
[-4.77675568],
[18.31733919]]), array([[ 4.71916853],
[-4.13479103],
[21.43256996]]), array([[-1.05529691],
[-7.81252553],
[19.11737562]]), array([[-2.26722051],
[-6.76506725],
[17.69569288]]), array([[-4.86272097],
[-4.92013636],
[17.45036303]]), array([[ 2.86703186],
[ 2.769005 ],
[17.66527934]]), array([[ 5.75862975],
[ 2.29084879],
[17.55446603]]), array([[ 0.81859215],
[ 3.21322267],
[13.4873495 ]]), array([[ 0.40703317],
[ 2.7759653 ],
[15.68718693]]), array([[ 3.5362033 ],
[ 2.52649518],
[17.05451119]]), array([[ 3.7301075 ],
[ 0.02897521],
[17.41424535]]))

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4、显示已检测出的棋盘格，点击Calibration，开始标定。

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标定结果：

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