输入一个正整数求所有素数因子_一起来聊聊素数的两个性质

素数(prime number)，又称质数，有无限个。

定义：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

来介绍两个简单的性质：

质数的个数是无穷的。

欧几里得的《几何原本》曾有一经典证明，用的是反证法。

当然，还有其他证明，我们就不一一探讨了，因为确实没有这种方法来的简单。

延伸一下，是不是所有的形如(p1*p2*……*pn)+1(其中p1，p2，...，pn均为素数)的数就一定是素数呢？

答案是否定的(2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509)。

下一个性质：

质因数分解唯一定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

同样采用反证法来证明：

假设存在某些数，它们有至少两种分解方法。那么一定有一个最小的数N，它能用至少两种方法表示成质数的乘积：

N = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs

不妨设P1 <= P2 <= ... <= Pr； Q1 <= Q2 <= ... <= Qs。

显然，P1≠Q1(不然两边同时约掉它，我们就得到一个更小的有两种分解方法的数)。

不妨设P1 < Q1，那么我们用P1替换掉等式最右边中的Q1，得到一个比N更小的数

M = P1 * Q2 * Q3 * ... * Qs。

令N' = N-M，我们得到M'的两种表达：

N' = (P1 * P2 * ... * Pr) - (P1 * Q2 * ... * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr - Q2 * ... * Qs) ……………… (1)

N' = (Q1 * Q2 * ... * Qs) - (P1 * Q2 * ... * Qs) = (Q1 - P1) * Q2 * ... * Qs ……………… (2)

由于M比N小，因此N'是正整数。

从(1)式中我们立即看到，P1是N'的一个质因子。注意到N'比N小，因此它的质因数分解方式应该是唯一的，可知P1也应该出现在表达式(2)中。既然P1比所有的Q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某个Q，于是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但这就意味着，(Q1-P1)/P1除得整数，Q1/P1必须得是整数。我们立即看出，P1必须也是Q1的一个因子，这与Q1是质数矛盾了。

这说明，我们最初的假设是错误的。

以上就是关于素数的两个性质的证明。希望能帮到您！

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