二叉树的基本概念（定义，特性，存储结构等）

一.二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个数据元素的有限集合，该集合可以为空（空二叉树），也可以由一个称为根（root）的元素及两个不相交的，被分别称为左子树和右子树的二叉树组成

如上图中含有7个结点，其中A是根节点，左子树TL由{B,D,E}构成，右子树TR由{C,F,G}构成；而左子树TL中B是根结点，左子树是{D}，右子树是{E}；右子树TR中，C是根结点，左子树为空，右子树为{F，G}；以此类推。
由上述可以看出在二叉树中用到了递归的概念。即用二叉树来定义二叉树。

二叉树的特点：

①每个结点最多有两棵子树
②左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒（若将其左右子树颠倒，就成为另外一颗不同的二叉树）

二叉树有五种基本形态：
1.空树（0个结点）
2.只有一个根结点
3.根节点只有左子树
4.根节点只有右子树
5.根节点左右子树都有

二.二叉树的一些概念

1.结点
度：结点所拥有的子树个数称为该结点的度；二叉树中各结点度的最大值称为该二叉树的度；度为0的结点称为叶子结点，或者终端结点；度不为0的称为分支结点。一颗二叉树的结点除了叶子节点，其余的都是分支结点

2.结点的层数以及二叉树的深度
结点层数：根结点的层数为1，其余结点的层数等于它的双亲结点加1
深度：二叉树中叶结点的最大层数定义为二叉树的深度

3.特殊的二叉树
①满二叉树（所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上）

②完全二叉树 （树中的结点从上到下，从左到右依次进行编号排序）

满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树

三.二叉树的性质（非常重要）

1.一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点（i>=1)
2.一颗深度为k的二叉树中，最多有2^k-1个结点
3.对于一颗非空二叉树，如果叶结点数为n0，度数为2的结点数为n2，则有n0=n2+1
4.具有n个结点的完全二叉树的深度为 |lbn|+1
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上到下和从左到右的顺序对二叉树中所有结点从1开始编号，则对于任意序号结点来说，有：
①如果i>1，则序号i的结点的双亲结点序号为i/2；如果i=1，则此时结点为根结点，无双亲结点。
②如果2i<=n，则序号为i的结点的左孩子为2i；若2i>n，则序号为i的结点无左孩子
③如果2i+1<=n,则序号为i的结点的右孩子为2i+1；如果2i+1>n,则序号为i的结点无右孩子

四.二叉树的存储结构

在数据结构中数据的物理存储结构可以分为两种，一种是顺序存储，一种是链式存储结构。所以二叉树的存储结构也有两种，即顺序存储和链式存储。

1.顺序存储结构
用一组连续的存储单元存放二叉树中的结点。一般按照二叉树结点从上至下，从左到右的顺序存储。这样做可以最大可能的节省存储空间，又可以利用数组元素下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系

上述图中是一颗完全二叉树，顺序存储是比较适合完全二叉树的，但是对于一般的二叉树来说按照从上到下，从左到右依次来存储，只有先添加一些并不存在的空结点，使之成为一颗完全二叉树的形式，然后再用数组来存储，显然这样会造成大量的空间浪费，若是二叉树是一颗单支二叉树，空间的浪费更加严重。

2.链式存储结构

用链表表示一颗二叉树，用链来指示元素的逻辑关系

①二叉链表存储
对于一个任意的二叉树，每个结点最多有两个孩子，一个双亲结点，所以可以设计让每一个结点，至少包括三个域：数据域，左孩子域，右孩子域（其中数据域存放数据信息，lchild和rchild分别存放指向左孩子和右孩子的指针），当某个孩子不存在时，则域为空（用符号^或者NULL表示）

二叉链表表示：

②三叉链表存储
每个结点由四个域组成：

前面三个域和二叉链表的域意义相同，添加的parent域则用来存储指向该结点双亲结点的指针（既便于查找孩子结点，又便于查找双亲结点，缺点就是增加了空间的开销）

三叉链表表示：

上述存储结构各有各的优缺点，所以在具体应用中，可以根据二叉树的形态和具体需求来决定二叉树的存储结构