无穷级数

一轮

前言：考研只考核心考点五六，但是需要用到前面的所有知识点

基础知识点1 常数项级数的概念

• 常数项：每一项均为数字
• 级数：无穷多项相加

基础知识点2 常数项级数的分类

• 正项级数：每一项都大于等于0
• 交错级数：一正一负交错
• 一般级数：否则

基础知识点3 常数项级数的收敛与发散

• 收敛：和存在
• 发散：和不存在

基础知识点4 常数项级数的6个重要性质

1. 收 ± 收 = 收

2. 收 ± 发 = 发

3. 发 ± 发 = 不确定

4. 若 ∑ n = 1 ∞ u n 收 敛 ， ∑ n = 1 ∞ k u n 也 收 敛 若 \sum_{n=1}^∞ u_n 收敛，\sum_{n=1}^∞ ku_n也收敛 若n=1∑∞​un​收敛，n=1∑∞​kun​也收敛

5. 若 ∑ n = 1 ∞ u n 发 散 ， ∑ n = 1 ∞ k u n 也 发 散 （ 考 虑 k ! = 0 ） 若 \sum_{n=1}^∞ u_n 发散，\sum_{n=1}^∞ ku_n也发散（考虑k!=0） 若n=1∑∞​un​发散，n=1∑∞​kun​也发散（考虑k!=0）

6. 增加、去掉、变更有限项，并不会改变敛散性。

基础知识点5 幂级数概念

形式：
∑ n = 数 ∞ a n ( x − x 0 ) n \sum_{n=数}^∞ a_n(x-x_0)^n n=数∑∞​an​(x−x0​)n

基础知识点6 幂级数的收敛域与和函数

• 收敛点
  若里面的x取一个具体的值，则幂级数变成了常数项级数。若这个常数项级数收敛，则这个具体的值称为收敛点

• 收敛域
  一个幂级数所有收敛点构成的区间称为该幂级数的收敛域。

• 和函数
  幂级数中的x在收敛域内形成的常数项级数是收敛的，则常数项级数的和存在，可以使用一个合x的表达式表示一个个收敛点对应常数项级数的和。

核心考点1 正项级数的敛散性判断

6种方法

方法1：必要条件法

计算趋于∞的u极限，若不等于0，则发散。若等于0，则什么也判断不了。
l i m n − > ∞ u n ≠ 0 = = = > 发 散 lim_{n->∞} u_n ≠ 0 ===>发散 limn−>∞​un​​=0===>发散

方法2：定义法

计算趋于∞的S极限，若等于某个数字，则收敛；若不存在，则发散。
l i m n − > ∞ S n = 数 字 a = = = > 收 敛 lim_{n->∞}S_n = 数字a ===> 收敛 limn−>∞​Sn​=数字a===>收敛
l i m n − > ∞ S n = ∞ = = = > 发 散 lim_{n->∞}S_n = ∞ ===> 发散 limn−>∞​Sn​=∞===>发散

方法3：记结论

方法3和方法4一起记，每一道使用方法4的题目，都要用方法3.

对于下面的式子：
∑ n = 1 ∞ 1 n p \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^p} n=1∑∞​np1​

• 若p > 1 ： 收敛
• 若p <= 1： 发散

方法4：比较判别法

前提：需要已知其中一个的敛散性。

（其实可以通过做差，实现两个数列的比较）

方法5：比值判别法

方法6：根值判别法

方法5和6一起记，且均适用于n出现在指数位置:部分位置则适用方法5，整体的指数适用方法6。

• 方法5：通过比值得到p

l i m n − > ∞ u n + 1 u n = p lim_{n->∞} \frac{u_{n+1}}{u_n} = p limn−>∞​un​un+1​​=p

• 方法6：通过开n次根得到p

l i m n − > ∞ u n = p lim_{n->∞} \sqrt{u_n} = p limn−>∞​un​ ​=p

• 若p = 1,不确定（题目也不可能出）
• 若p > 1,发散
• 若p < 1,收敛

小测试：下面的5题，哪些使用方法5，哪些使用方法6

答案：前3题使用方法5，后2题使用方法6

心得：使用上述方法的时候，还得要结合求极限的一些方法，比如常见的等价无穷小都可以使用的。

核心考点2：交错级数的敛散性判别

仅有唯一的方法，且具有两步骤：

1. 把正项级数部分写出来，判断正项级数的敛散性。
   • 若收敛，则交错级数（绝对）收敛
   • 若发散，则继续。
2. 莱布尼茨判别准则：若同时满足以下条件，则收敛。（充分条件）
   • 此交错级数对于的正项级数的极限为0。（极限为0）
   • 此交错级数对于的正项级数前一项大于等于后一项。（单调性：递减）

核心考点3：一般级数的敛散性判断

把正项级数部分写出来（加绝对值），判断正项级数的敛散性。

• 若收敛，则该一般级数收敛。

心得：

• 一般式子中包含sin，cos都是一般级数，使用比较判别的方法，和1比较缩放。
• 式子中最外层包裹了ln(1+xx)，多半可以使用泰勒展开

核心考点4 求幂级数的收敛域

两种类型：

1. 求不缺项的幂级数的收敛域
2. 求缺项的幂级数的收敛域

求不缺项的幂级数的收敛域

先重温不缺项的幂级数的格式：
∑ n = 数 ∞ u n ( x − x 0 ) n + b \sum_{n=数}^∞ u_n(x-x_0)^{n+b} n=数∑∞​un​(x−x0​)n+b

1. 求收敛半径r：就看前面的部分，不用看后面的部分

l i m n − > ∞ ∣ u n + 1 u n ∣ lim_{n->∞} |\frac{u_{n+1}}{u_n}| limn−>∞​∣un​un+1​​∣

1. 求出收敛区间:
   − r < x − x 0 < r -r < x - x_0 < r −r<x−x0​<r
   x 0 − r < x < x 0 + r x_0 - r <x< x_0 + r x0​−r<x<x0​+r
2. 求出收敛域：代入端点求区间的开或闭，若发散则开，收敛则闭。
   例 如 ： 当 x = x 0 − r 时 ， ∑ n = 数 ∞ u n ( x − x 0 ) n 趋 向 于 无 穷 ， 发 散 ， 故 区 间 端 点 为 开 。 例如：当x = x_0 - r时，\sum_{n=数}^∞ u_n(x-x_0)^n 趋向于无穷，发散，故区间端点为开。 例如：当x=x0​−r时，n=数∑∞​un​(x−x0​)n趋向于无穷，发散，故区间端点为开。

求缺项的幂级数收敛区间

1. 求收敛区间

2. 求收敛域：代入端点求区间的开或闭，若发散则开，收敛则闭。

分析：刚开始看到上面的式子好像很复杂，但是细细捋一波思路，其实也简单。

首先，把题目给出的式子全部当成f(n)

f ( n ) = u n ( x − x 0 ) a n + b f(n) = u_n(x-x_0)^{an+b} f(n)=un​(x−x0​)an+b

类似比较判别法的套路，使用f(n+1)/f(n)，再套上一个绝对值，就是第一个看似复杂的算式了；

若f(n)整体外套了一层n次方，则开n次方把它消去。

核心考点5：求幂级数的和函数

一共三步：

1. 第一步：求收敛域（见上一考点）
2. 第二步：化简：结合使用五种方法（见下面）
3. 第三步：算两种特殊点的极限
   • 收敛域闭区间的端点（左端点的右极限，右端点的左极限）
   • 收敛域内部没有定义的点

步骤二的五种方法：

• 方法一：背公式（下图的z实际上是2）

十分重要：主要将累加符号累加符号 ∑ 消去。（其实就是麦克劳林展开式的逆过程。）

下述的其余方法主要将其变成 方法一 的形式：方法虽然多，但是实际上就是先求导，再积分还原的过程。

综上，不拿一个栗子举一下，很难理解：

最后求出的收敛域发现收敛域上没有定义域不存在的点，也没有闭区间，所以答案就是第二步的答案。

这里有遗漏一个点，对应幂级数的收敛域和和函数，还有一种题型是求函数展开式。

核心考点6： 函数展开为幂级数

熟记常见的麦克劳林展开式。

直接问：求f(x) = xxx 在x = 1 展开的幂级数

则需要配一个 x - 1 的多项式，然后使用麦克劳林公式展开

二轮

1. 基础知识：级数加括号的理解

2. 解题技巧：幂级数缺项

3. 部分和数列的极限与收敛的关系

4. 求和函数时，系数n不匹配

4.1 若系数分母含n，则逐项求导

4.2 若系数分子多n，则提x

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