泰勒公式--泰勒多项展开以及应用

一、概念

1.一句话概括泰勒展开式：

用多项式去无限逼近一个函数，就是将某个函数在一个点上泰勒展开。

泰勒级数是把一个函数展开，化成次方项相加的形式，目的是用相对简单的函数去拟合复杂函数，此时相对简单是看你需要的，一阶指展开的次数最高为1，二阶指展开次数最高为2。

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

2.为什么需要展开？（泰勒展开有什么用？）

a.方便求一些函数值，因为泰勒展开是多项式，而多项式的值一般都很好求，只要代入变量，就可求出因变量。而很多函数的函数值很难求，例如sinx，lnx这类的。
b.方便计算，简化问题：

3.泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）

二、应用

1.一阶泰勒展开

梯度下降法和一阶泰勒展开

泰勒展开就包含了梯度，从梯度的定义（方向导数最大）出发就可以得出优化方向：负梯度，这个有手推公式，下次补上。

顺便提一嘴：为什么要用梯度下降？

在机器学习领域中，建模需要loss损失函数，模型越优，loss越小，函数求导=0找极值。

机器学习中，有两种求极值的办法，一种是解析解，一种是梯度下降（特征维度超多时，如one-hot后用）

当你建模的特这个x的维度特别大，超过1000维度，那么解析解计算就很费事，所以借助梯度下降来牺牲时间换空间的方式来计算,得到一个近似解

那为什么梯度下降就可以使得我这个x越来越靠近极值点，为什么不朝着其他的方向尽进行下降，
重点：梯度下降具有最快下降到极值点的性能。具有最快的下降速度

这个就用到一阶泰勒展开

2.二阶泰勒展开

xgboost和二阶泰勒，以及二阶泰勒的优势

因为这样做使得我们可以很清楚地理解整个目标是什么，并且一步一步推导出如何进行树的学习。这一个抽象的形式对于实现机器学习工具也是非常有帮助的。传统的GBDT可能大家可以理解如优化平法残差，但是这样一个形式包含可所有可以求导的目标函数。

xgboost使用二阶泰勒展开的目的和优势有一下两方面：

1、xgboost是以mse为基础推导出来的，在mse的情况下，xgboost的目标函数展开就是一阶项+二阶项的形式，而其他类似logloss这样的目标函数不能表示成这种形式。为了后续推导的统一，所以将目标函数进行二阶泰勒展开，就可以直接自定义损失函数了，只要二阶可导即可，增强了模型的扩展性。

2、二阶信息能够让梯度收敛的更快，类似牛顿法比SGD收敛更快。一阶信息描述梯度变化方向，二阶信息可以描述梯度变化方向是如何变化的。

二阶泰勒展开的优势是相对于一阶而言的，和牛顿方法相对于梯度下降类似，都是为了更准确的找到最优解，重点。