三点法求点三维坐标实验

1、实验目的

1）加深对标定原理的理解
2）验证一种单目求三维点坐标的方法

2、实验原理

1）

⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1/dx0001/dy0u0v01⎤⎦⎥⎡⎣⎢f000f0001⎤⎦⎥⎡⎣⎢Xc/ZcYc/Zc1⎤⎦⎥

\begin{bmatrix}u\\v\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/dx&0&u0\\0&1/dy&v0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f&0&0\\0&f&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Xc/Zc\\Yc/Zc\\1\end{bmatrix}

两个3×3矩阵是通过标定得到的内参数矩阵，可以认为它不随参照物的变化而变化，是一个固定值。能够利用图像中（u,v）的坐标求得（Xc/Zc,Yc/Zc）的值，设为（a,b）。这可以看作是三维空间坐标的透视投影，那么实际的坐标可设为
（a,b,1）∗Zc=(aZcbZcZc)（a,b,1）*Zc=\begin{pmatrix}aZc&bZc&Zc\end{pmatrix}
2）假如我们已经知道物体表面的任意三个点的实际距离l1,l2,l3。那么可以列出如下式子：

其中z1,z2,z3对应1）中的Zc，a1,b1…b3对应1）中的a和b。
三个未知数三个线性无关方程，理论上有解。

3、实验步骤

1）先在标定工具箱中利用里面的normalize函数通过已知的棋盘格坐标点求出（a,b），如图：

上面是图像坐标

接着是归一化后坐标
2）在Matlab中利用solve函数可求的方程组的解：

4、实验结果

1）求得的方程组的解为：

最后选取z1 = 2456.3，z2 = 2469.9，z3 = 2475.4
代入坐标式子得三个点的坐标为：

然后通过

⎡⎣⎢XwYwZw⎤⎦⎥=R⋅⎡⎣⎢XcYcZc⎤⎦⎥+Tc

\begin{bmatrix}Xw\\Yw\\Zw\end{bmatrix}=R\cdot\begin{bmatrix}Xc\\Yc\\Zc\end{bmatrix} + Tc，求出世界坐标：

5、实验误差分析

误差的来源主要有：
1）获取图像坐标点的误差。
2）实际空间距离的误差，即式子中l1，l2，l3有可能测量出现的误差。
解决误差的方法：
识别的点要尽量稳定，l1，l2，l3相比误差来说要尽可能大一些，使得相对误差尽量减小。

6、实验结论

根据实验得到结果可知，世界坐标下的误差能够让人接受，而且在摄像头坐标系下也能够反推证明两个点之间的距离是28mm左右。
如果要进行空间角度的测量的话，一方面可能对标定精度的要求要进一步提高，但还是不能保证得到结果的可靠性，因为角度对位置的变化比较敏感，一个小小的误差，可能使角度产生较大的偏移，这也是整个项目最大的问题所在。
总之，还是要看精度的要求，以及要考虑其他误差补偿的方法。