【网络流】【二分图最大匹配】Buaacoding1043 难题·Beihang Couple Pairing Comunity 2017

难题·Beihang Couple Pairing Comunity 2017
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题目描述
BCPC（Beihang Couple Pairing Community）2017 就要举办了！

这是 Beihang U 一年一度的盛会，在这样的日子里，每一只单身狗们都可以聚集在一起自由地配对，每一对成功配对的单身狗就可以顺利地进入到最后的礼堂中，接受所有与会单身狗们的祝福，并从脱离狗身，羽化登仙。

ConnorZhong 拉上可爱的三位助教，AlvinZH ，Bamboo，ModricWang 也参与到了这项集会中，可是无一例外，他们都没能成功配对。

最后四个人都被拦在了礼堂外，看着礼堂内哲学的画面，再看看空荡荡的周围，竟然只有这四个人被拦在了外面，这意味着什么？意味着等今晚生米煮成熟饭，这个学校很可能只剩这四只单身狗了啊！

绝望的四个人在寒风中瑟瑟发抖，沙河的风真是喧嚣啊。

”我们不能眼看着这可怕的事情发生！“， AlvinZH，退学大队队长说道。

“那真是天可怕了！”，ConnorZhong应道。

大家一拍即合。ConnorZhong 找来火把，ModricWang 掏出了汽油，AlvinZH 点火，Bamboo 在一边加油…

当夜大礼堂火光冲天 ….

一个礼堂平面图以一个 n×m 的矩阵给出，矩阵中 ‘X’ 为承重墙，不可通行，’.’ 为空地，可以自由通行，E 为紧急疏散传送门出口。在火灾发生的时候，每个 ‘.’ 中都恰好有一对单身狗（2 只！)正在哲学，礼堂中的所有单身狗都尝试从 E 疏散，但是紧急疏散通道的疏散能力有限，每个出口每一秒钟都只能有一对单身狗（2只！）同时疏散。单身狗只能在 . 上通行，且每一秒只能上下左右四个方向移动一个单位，每一个 . 上同一时间可以有多只狗。

注意，地图上只有 ‘.’ 可以任由狗自由通行和堆积，‘E’ 和 ‘X’ 都不可以自由通行和堆积，但是 ‘E’ 每一秒可以由相邻节点的任一对单身狗进入并疏散。

请问最少需要多少秒，礼堂中的单身狗能全部从礼堂中疏散。

如果有单身狗不能从礼堂中撤离，那么请输出一行：“Oh, poor single dog!”.

输入
第一个数为数据组数 T.

每组测试数据第一行为两个正整数 n 和 m ，表示礼堂的大小。

接下来 n 行，每行 m 个字符，表示礼堂的构造。sij(1≤i≤n,1≤j≤m) 为’X’，’.’ 或 E。

T≤20,1≤n≤20,1≤m≤20

输出
对于每组数据，输出一行，如果单身狗们能全部撤离，输出最短撤离时间，否则输出一行"Oh, poor single dog!" (不包含左右引号)。

输入样例
3
3 3
XEX
…
XEX
3 7
…E
.XXXXXX
…
3 3
.X.
XEX
…
输出样例
2
14
Oh, poor single dog!
HINT
有问题欢迎寻找ConnorZhong实锤！

真的不敢说自己是搞ACM的了，软院的题都狂WA狂T不止，之前有一道dp还看了题解抄了代码…说到底还是自己菜到不行。
这题刚看的时候立马反应过来是网络流。瞬间想到了之前做过的一道题，是白书上的LA2957 运送超级计算机。然后就依样画葫芦建立分层图。从小到大枚举时间T，然后T增加过程中增加一层图，再在原有基础上增广，一直到流量达到人数为止。其实思路没啥大问题，但是每一次增加400个节点，然后上一层每个‘.’节点要对新一层相邻四个点和本身连边，瞬间点数边数爆炸。结果是TLE，像20*20，右下角一个E的数据，大概二十多秒才出的来。
后来就开始想能不能忽略时间因素，不建立分层图，只用400个点，然后每一次给 '.‘与‘E’间距离==当前时间的点对连接新边。小数据发现基本没有问题，但是实际上还是会有两个’.'在同一时刻到达E，出现阻塞的情况，所以必须考虑时间。
一些典型数据
1
4 4
E . E .
X E. .
X E . .
. E . .
答案 3
1
3 5
. . . X E
. . . . .
. E E . E
答案 4

后来反思了一下，认为建立分层图的方法中，每个点向下一层连的边是+∞的流量，一般来说这种边很可能是冗余的。上面的方法虽然因为没有分层而错误，但直接为’.'和‘E’建边确实是更好的选择。另外，这时可以发现，‘.’其实是可以不用分层的，只需要为终点’E’分层就行了，这样的话，点数和边数就大大减少了。贴一下代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define INF 0x7FFFFFFF
#define maxn 160005
using namespace std;const int dx[5]={0,1,0,-1,0};
const int dy[5]={1,0,-1,0,0};struct edge
{int to,residual;
};char f[25][25];
bool vis[405][25][25];
queue<pair<int,int>> Q[405];
int n,m,k,s,t,nn,mm,flow,T,EN,ans,tag[25][25];
vector<edge> E;
vector<int> G[maxn];
bool flag;
int d[maxn],num[maxn],cur[maxn];int DFS(int x, int a, int fa)
{if(x==t||a==0)return a;int flows=0,f;for(int& i=cur[x];i<G[x].size();i++)   {edge& e=E[G[x][i]];if(d[x]==d[e.to]+1&&(f=DFS(e.to,min(a,e.residual),x))){flows+=f;if(!flag)return flows;e.residual-=f;E[G[x][i]^1].residual+=f;a-=f;if(a==0)return flows;}}int m=n-1;cur[x]=0;for(int i=0;i<G[x].size();i++)if(E[G[x][i]].residual||E[G[x][i]].to==fa&&flows>0)m=min(m,d[E[G[x][i]].to]);if(--num[d[x]]==0)flag=false;num[d[x]=m+1]++;return flows;
}int ISAP_Maxflow()
{for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=num[i]=cur[i]=0;num[0]=n;int x=s;flag=true;while(d[s]<n&&flag)flow+=DFS(s,INF,-1);return flow;
}void add_edge(int p, int q, int cap)
{E.push_back((edge){q,cap});E.push_back((edge){p,0});G[p].push_back(E.size()-2);G[q].push_back(E.size()-1);
}void init()
{flow=0;for(int i=1;i<=EN;i++){while(!Q[i].empty())Q[i].pop();}E.clear();for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();n=2;EN=0;for(int i=1;i<=nn;i++)for(int j=1;j<=mm;j++)if(f[i][j]=='E'){++EN;while(!Q[EN].empty())Q[EN].pop();for(int p=1;p<=nn;p++)for(int q=1;q<=mm;q++)vis[EN][p][q]=false;Q[EN].push({i,j}),++n;   //每次队列扩展出新E要连接的点}for(int i=1;i<=nn;i++)for(int j=1;j<=mm;j++)if(f[i][j]=='.'){add_edge(s,++n,1);  //超级源点到'.'tag[i][j]=n;}
}void expand()
{       for(int i=1,tp;i<=EN;i++){for(int p=1;p<=nn;p++)for(int q=1;q<=mm;q++)vis[i][p][q]=false;add_edge(tp=++n,t,1);queue<pair<int,int>> tmp;while(!Q[i].empty()){pair<int,int> R=Q[i].front();Q[i].pop();for(int k=0,u,v;k<=4;k++){u=R.first+dx[k],v=R.second+dy[k];if(u>0&&u<=nn&&v>0&&v<=mm&&f[u][v]=='.'&&!vis[i][u][v]){tmp.push({u,v}),vis[i][u][v]=true;  //新一层的'E'到超级汇点add_edge(tag[u][v],tp,1);  //'.'到此时新的'E'}}}swap(Q[i],tmp);}
}int main()
{scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&nn,&mm);int sdog=0;for(int i=1;i<=nn;i++){scanf("%s",f[i]+1);for(int j=1;j<=mm;j++)if(f[i][j]=='.')sdog+=1;}ans=1;flow=0;s=1,t=2;init();expand();for(int lflow=flow;ISAP_Maxflow()<sdog&&flow>lflow;ans++)  //不断增广{expand();lflow=flow;}if(flow>=sdog)printf("%d\n",ans);elseputs("Oh, poor single dog!");}return 0;
}

因为不可能存在某个时刻没有单身狗到达出口（这样显然不是最优的，每个出口都不接受单身狗，说明此时每队单身狗和他要离开的出口都不相邻，那么肯定有方法让单身狗跟随与之相邻的，上一步离开的单身狗离开，至少会少一对单身狗），因此某个时刻如果流量没有增长，那么一定是被隔离的情况，直接输出无解，不用用bfs再判断图的连通性了。
其实大家可以发现这个图已经变成一个二分图了，所以没必要用网络流了，直接来一个二分图最大匹配，直接把所有点和边建好，然后按顺序增广，增广到匹配数量达到要求了，看枚举到了哪一天的点，那么答案就是哪一天。
二分图到底更快速一些…效率无敌。
其实直接想到用二分图做也不是不可能。可惜思维有点定势了，导致这题思考的时候拐了一个大弯。
附上mogg的二分图代码，虽然贴别人的代码有点不太道德的样子QwQ

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <vector>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <string>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;string mp[25];struct Point
{int x, y;
};
bool operator == (const Point&l, const Point&r) { return l.x == r.x && l.y == r.y; }
bool operator < (const Point&l, const Point&r) { return l.x == r.x ? l.y < r.y : l.x < r.x; }
vector< vector<vector<int>>> dis;vector<Point> p, e;
int n, m, k;
const int ms = 666666;
vector<int> G[ms];//邻接矩阵
int match[ms];//记录匹配点
bool visit[ms];//记录是否访问
int ps, os;bool dfs(int x)//寻找增广路径
{int len = G[x].size();for (int i = 0; i < len; ++i){int to = G[x][i];if (!visit[to]){visit[to] = true;if (match[to] == -1 || dfs(match[to])){match[to] = x;return true;}}}return false;
}int MaxMatch()
{int ans = 0;memset(match, -1, sizeof(match));for (int i = 0; i <= n; ++i){memset(visit, false, sizeof(visit));//清空访问if (dfs(i)){ans++;if (ans == ps)return i / os + 1;}}return -1;
}int dir[] = { -1,0,1,0 };
void bfs(const Point& x, int index)
{dis[index][x.x][x.y] = 0;queue<Point> q;q.push(x);int res = 0;while (!q.empty()){Point p1 = q.front();q.pop();for (int i = 0; i < 4; i++){Point p2 = { p1.x + dir[i],p1.y + dir[3 - i] };if (p2.x < n&&p2.x >= 0 && p2.y < m&&p2.y >= 0 && dis[index][p2.x][p2.y] < 0 && mp[p2.x][p2.y] == '.'){dis[index][p2.x][p2.y] = dis[index][p1.x][p1.y] + 1;q.push(p2);}}}
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t;cin >> t;while (t--){cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i++)cin >> mp[i];vector<Point> ot, per;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < m; j++)if (mp[i][j] == '.')per.push_back({ i,j });else if (mp[i][j] == 'E')ot.push_back({ i,j });int maxx = n * m;ps = per.size();os = ot.size();dis.clear();dis = vector<vector<vector<int>>>(os, vector<vector<int>>(n, vector<int>(m, -1)));for (int j = 0; j < os; j++)bfs(ot[j], j);for (int i = 0; i < ps; i++)for (int j = 0; j < os; j++){int d = dis[j][per[i].x][per[i].y];if (d >= 0)for (int k = d; k <= maxx; k++)G[(k - 1)*os + j].push_back(maxx*os + i);}n = maxx * os + ps;int res = MaxMatch();if (res == -1)printf("Oh, poor single dog!\n");elseprintf("%d\n", res);for (int i = 0; i < n; i++)G[i].clear();}return 0;
}

最后总结一下，自己写代码不能总带着思维定势，也不能瞎搞，要冷静分析。
网络流建图很重要，好的建图效果会大大提升。
加强练习，不可以有半点松懈！

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