【网络流24题】解题报告：A、飞行员配对方案问题（最大流求二分图最大匹配）

A、飞行员配对方案问题（二分图最大匹配）（最大流）【提高+/省选- 】

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【问题分析】

二分图最大匹配问题。

【建模方法】

在二分图的基础上增加源S和汇T。 1、S向X集合中每个顶点连一条容量为1的有向边。 2、Y集合中每个顶点向T连一条容量为1的有向边。 3、XY集合之间的边都设为从A集合中的点到B集合之中的点，容量为1的有向边。

节点

源点：0
外国人：1->m
本国人：m+1->n
汇点：n+1

（源点，外国人，1）
（外国人，本国人，INF）
（本国人，汇点，1）

求网络最大流，流量就是匹配数，所有满流边是一组可行解。

【建模分析】

基本的二分图最大匹配，可以直接用匈牙利算法或Hopcroft_Karp算法解决，更一般的方法是网络最大流。

求出的最大流即为最多的匹配对数。

要得到匹配方案，既是判断各边是否有流量，即判断反向边的权值是否不为0。
有流量的边即为要输出的匹配对。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<queue>
//#define ls (p<<1)
//#define rs (p<<1|1)
#define over(i,s,t) for(register int i = s;i <= t;++i)
#define lver(i,t,s) for(register int i = t;i >= s;--i)
//#define int __int128
//#define lowbit(p) p&(-p)
using namespace std;typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 5e2+7;
const int M = 2e5+7;int head[N],nex[M],ver[M],tot = 1;
int edge[M];
int n,m,s,t;
int maxflow;
int deep[N];//层级数，其实应该是level
int now[M];//当前弧优化
queue<int>q;inline void read(int &x){int f=0;x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();x=f?-x:x;
}inline void add(int x,int y,int z){//建正边和反向边ver[++tot] = y;edge[tot] = z;nex[tot] = head[x];head[x] = tot;ver[++tot] = x;edge[tot] = 0;nex[tot] = head[y];head[y] = tot;
}inline bool bfs(){//在残量网络中构造分层图memset(deep,0x3f,sizeof deep);while(!q.empty())q.pop();q.push(s);deep[s] = 0;now[s] = head[s];//一些初始化while(!q.empty()){int x = q.front();q.pop();for(int i = head[x];i;i = nex[i]){int y = ver[i];if(edge[i] > 0 && deep[y] == INF){//没走过且剩余容量大于0q.push(y);now[y] = head[y];//先初始化，暂时都一样deep[y] = deep[x] + 1;if(y == t)return 1;//找到了}}}return 0;
}//flow是整条增广路对最大流的贡献，rest是当前最小剩余容量，用rest去更新flow
ll dfs(int x,int flow){//在当前分层图上增广if(x == t)return flow;int ans = 0,k,i;for(i = now[x];i && flow;i = nex[i]){now[x] = i;//当前弧优化（避免重复遍历从x出发的不可拓展的边）int y = ver[i];if(edge[i] > 0 && (deep[y] == deep[x] + 1)){//必须是下一层并且剩余容量大于0k = dfs(y,min(flow,edge[i]));//取最小if(!k)deep[y] = INF;//剪枝，去掉增广完毕的点edge[i] -= k;//回溯时更新edge[i ^ 1] += k;//成对变换ans += k;flow -= k;}//if(!flow)return rest;}return ans;
}void dinic(){while(bfs())maxflow += dfs(s,INF);
}int tmp1,tmp2;
int main()
{read(m),read(n);s = 0,t = n + 1;while(scanf("%d%d",&tmp1,&tmp2) && (tmp1 != -1 && tmp2 != -1))add(tmp1,tmp2,0x3f3f3f3f);for(int i = 1;i <= m;++i)add(s,i,1);//每一条增广路是一条匹配for(int i = m + 1;i <= n;++i)add(i,t,1);dinic();if(!maxflow){puts("No Solution!");return 0;}cout<<maxflow<<endl;for(int i = 2;i <= tot;i += 2){if(ver[i] != s && ver[i ^ 1] != s)if(ver[i] != t && ver[i ^ 1] != t)if(edge[i ^ 1] != 0)printf("%d %d\n",ver[i ^ 1],ver[i]);}return 0;
}

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