离散数学图论经典问题之握手定理
知识点:握手定理
在无向图中G=<V,E>,则所有的节点的度数总和等于边数的2倍;
在有向图G=<V.E>中,所有节点的入度之和等于所有节点的出度之和,所有节点的度数的总和等于边数的2倍。
案例:
唐氏夫妇邀请另外三对夫妇来家里吃饭,以知每个人都不和自己握手,不和自己的配偶握手,同时最多和一人握手一次。在大家吃完饭后,唐先生问大家握了几次手,然而每个人的回答都不相同。请问:唐太太握手几次?
分析:首先解决这个问题,咱们应该建立一个图模型,具体怎么建立应该仔细分析案例中的每一个情景。整个情景之中,一共有8个人,唐先生问剩余7人之中握手次数,我们应该可以推出握手次数最多的那个人最多为6次。我们可以按编号的方式来解决。
A | B | C | D | E | F | G |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
从表一我们可以分析出A和G是一对夫妇,我们可以画出任意一对夫妇(比如A夫妇)握手的图出来,如下所示:
所以我们可以排除一对夫妇,在剩下的5人中寻找唐太太,那么对应这5人中,每人的握手次数也应该减少一次。分析如下表所示:
B | C | D | E | F |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
同样从表2我们可以分析出B和F是一对夫妇,我们可以画出B夫妇握手的图出来,如下所示:
同样我们可以排除一对夫妇,在剩下三个人寻找唐太太,其中这三个人握手次数减少一次,分布如下:
C | D | E |
0 | 1 | 2 |
同样我们可以从表3中得到,C和E是一对夫妇,我们可以画出C夫妇的握手图模型如下:
所以我们可以推出D是唐太太,根据表一,我们可以知道唐太太握手次数为3.
思路总结:本案例充分体现的握手定理的便利,理解每一句话建立模型,其中握手次数我们可以抽象成图论里面的度,每一个人可以抽象成图模型里的结点,握手抽象成图模型里的边。采用排除法的思想寻找唐太太,最终解决问题。
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