相机畸变模型及去畸变计算

透镜

实际成像时，如果小孔过小，则入射光的强度会受到影响，进一步会影响到成像。另一方面，由于光的波动性，在小孔的边缘上，光将发生衍射，因此，这些光将在像平面上“散播”。当小孔变的越来越小时，入射光的“散播”范围将变得越来越大，因此，入射光中越来越多的能量将会被“散播”到：偏离入射光方向的“地方”。

我们在使用针孔相机时，我们做过一个假设：针孔是无线小的一个孔。在真实物理世界中，我们的假设一般无法成立，那如果改变针孔的大小后，会发生怎样的变化呢？

如上图所示，当针孔尺寸发生改变后，穿过针孔的光线数量就会增加。光线数越多，像平面中的点就会被三维世界中物体上越多的点影响，导致图像越发模糊。针孔小了，得到的图像更清晰，但也更暗。自然而然的，我们就会想到针孔模型下的一个基本问题：我们能设计一个相机能得到既清晰又明亮的图像吗？

为了解决小孔相机的上述问题，我们现在考虑：在成像系统中使用透镜。镜头可以使光线聚焦或分散，如果我们选用一个理想的透镜替代针孔，那他应该具有以下特性：P点发出的所有射线，经镜头折射后，聚焦在像平面上P′点。

假如我们另取一点 Q，在像平面上的投影点则可能是模糊或失焦的。每个镜头都会有特定的准确对焦的距离，在摄影学或计算机图形学中也叫景深（depth of field）。

镜头能够讲所有平行于光轴的光线折射到同一个点，称之为焦点。焦点和光心的距离即为焦距f。从光心穿过的光线不会偏离原始方向。
一个理想的透镜具有如下两个性质：

它的投影方式和小孔模型相同
将一定数量的光线汇聚在一起。

畸变模型参数

相机的内参除了以上f_x, f_y, u₀, v₀，还包含畸变系数[k₁, k₂, p₁, p₂, k₃]
理想的透镜是没有畸变的。但是，因为制造和安装精度等方面的原因，镜头总是存在这畸变。畸变是相机固有特性，同款相机的畸变也会有些许差异，但是其和相机内参一样，标定一次即可。

畸变参数分为径向畸变（Radial Distortion）和切向畸变（Tangential Distortion），除了这两种之外也还有其他类型畸变，但是没有这两种显著，故忽略不计。

径向畸变

径向畸变来自透镜形状不规则以及建模的方式，导致镜头不同部分焦距不同。光线在远离透镜中心的地方偏折更大（枕型畸变）或更小（桶形畸变）。

从径向畸变开始。实际摄像机的透镜总是在成像仪的边缘产生显著的畸变，如下图所示。对某些透镜，光线在远离透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲。

对径向畸变，成像仪中心（光轴）的畸变为0，随着向边缘移动，畸变越来越严重。当然，在实际的相机中，这种畸变比较小，而且可以用r=0位置周围的泰勒级数展开的前几项来定量描述。

下图显示矩形网格因径向畸变而产生的位移。越远离光轴中心的地方，矩形网格上的点偏移越大。

下图描述了3种常见的畸变情形，桶形畸变通常k1>0，枕形畸变通常k1<0。

切向畸变

切向畸变来自于整个摄像机的组装过程。由于透镜制造上的缺陷使得透镜本身与图像平面不平行而产生的，如下图所示：

切向畸变可以用两个额外的参数p₁和p₂来描述：

去畸变计算

到目前位置，相机的模型已经建立起来了，以下公式中的矩阵描述了相机的固有参数

有时(u₀, v₀)也写作(c_x, c_y)，以及畸变参数：Distortion_coefficients=(k₁，k₂，p₁，p₂，k₃)

决定这两个矩阵的过程，便是相机标定。通常，把摄像机对准一个有很多独立可标识点的物体，在不同角度观看这个物体，进一步可通过每个图像来计算摄像机的相对位置和方向，以及摄像机的内参。

在内参标定完成后，可以建立三维坐标和二维图像的关系：

综合径向畸变和切向畸变，我们总结出去畸变公式：

Ideal point (x_u,y_u)为理想点
real point (x_d,y_d)为实际点
dr为径向畸变，参数为{k₁, k₂, k₃}
dt为切向畸变，参数为{p₁, p₂}
于是通过下面的变换，可以得到没有畸变的标定结果：

等式右边的(x, y)为得到的图像中的理想点，但是存在畸变，于是把其带入等式右边，经过径向和切向变换后，得到左边的畸变校正后的实际点坐标(x_corrected, y_corrected)，取出对应颜色值作为(x, y)的颜色值即可。通过去畸变，可以完成图像的矫正，如下图：

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