Floyd算法、Dijkstra算法例题

二

1.用Floyd算法求解下图各个顶点的最短距离。

2.对于下图使用Dijkstra算法求由顶点a到顶点h的最短路径。

2.解析
1）用Floyd算法求解各个顶点的最短距离。

第一步：画出初始化距离矩阵
1 2 3 4
1 0 2 6 4
2 ∞ 0 3 ∞
3 7 ∞ 0 1
4 5 ∞ 12 0
第二步：逐步加入顶点，若加入顶点后路径变短，则修改。
①加入顶点1
<1,2> <1,3> <1,4> <2,1> < 3,1> <4,1>不变
<2,3> < <2,1>+<1,3> 不变
<2,4> < <2,1>+<1,4> 不变
< 3,2> > < 3,1>+<1,2> 最短路径改为9
< 3,4> < < 3,1>+<1,4> 不变
<4,2> < <4,1>+<1,2> 最短路径改为7
<4,3> < <4,1>+<1,3> 最短路径改为11
以此类推，加入顶点2，3，4
第三步：得到最终的距离矩阵
1 2 3 4
1 0 2 5 4
2 9 0 3 4
3 6 8 0 1
4 5 7 10 0

2）使用Dijkstra算法求由顶点a到顶点h的最短路径。

A集合表示已取出的顶点，B集合表示未取出的顶点，C[]数组存放顶点a到各顶点的最短路径。
1）原始c[]数组为
a b c d e f g h
dis ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
2）在数组中取出路径最短的顶点且该顶点未被访问过。
A：a,b
B：c,d,e,f,g,h
3）更新C数组，加入点b
a b c d e f g h
dis ∞ 1 ∞ 3 ∞ ∞ ∞ ∞

4）重复第二、三步使C数组填满
a b c d e f g h
dis ∞ 1 4 3 13 11 15 18
则到h的最短路径为18
3.设计
Floyd算法
void Floyd(int n,int graph[][MAXG]) {
int A[MAXG][MAXG];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; ++j) {
初始化A矩阵
}
}
for (int v = 0; v < n; v++)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n;++j) {
if (加入顶点v后的路径小于直达路径) {
A[i][j] = A[i][v] + A[v][j];//修改距离矩阵内的值
}
}
}
}
输出最短距离矩阵
}

Dijkstra算法
void Dijkstra(int a, int b, int n, int graph[][MAXG]) {//n为图中顶点个数
int dis[MAXG], visit[MAXG], min_g, min_weight;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
初始化dis数组和visit数组
}
顶点a被访问
for (int j = 0; j < n-2; j++) {
设定min_weight和min_g初始值
for (int i = 0; i < n; i++){//找出dis数组中路径最短且未被访问的顶点
if (dis[i]小于min_weight并且顶点i未被访问过) {
将i赋值给min_g，将dis[i]赋值给min_weight
}
}
顶点min_g被访问
for (int i = 0; i < n; i++){
if (顶点min_g到顶点i的路径与min_weight的路径之和小于dis[i]) {
将graph[min_g][i]与min_weight的和赋值给dis[i]
}
}
}
输出dis[b]，即点a到点b的最短路径
}
4.分析
Floyd算法的时间复杂度为O（n3）
Dijkstra算法的时间复杂度为O（n2）

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