6.4 二项式系数和恒等式

C(n,r)可以记做(nr)，因为常出现在二项式展开式中作为系数，所以也叫做二项式系数。C(n,r) 可以记做\ \binom{n}{r}，因为常出现在二项式展开式中作为系数，所以也叫做二项式系数。 C(n,r)可以记做 (rn)，因为常出现在二项式展开式中作为系数，所以也叫做二项式系数。

二项式定理

(x+y)n=∑j=0n(nj)xn−jyj=(n0)xn+(n1)xn−1y+⋯+(n1)xyn−1+(nn)yn(x+y)^n=\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {x}^{n-j}{y}^{j}=\binom{n}{0} {x}^{n} + \binom{n}{1} {x}^{n-1}y+ \cdots + \binom{n}{1} x{y}^{n-1} + \binom{n}{n}{y}^{n} (x+y)n=j=0∑n(jn)xn−jyj=(0n)xn+(1n)xn−1y+⋯+(1n)xyn−1+(nn)yn

证明：
基础步骤：当n=1时，上述结论正确。归纳步骤：假设当n时，结论成立。现在对于(x+y)n+1=(x+y)n⋅(x+y)=(x+y)n⋅x+(x+y)n⋅y=∑j=0n(nj)xn+1−jyj+∑j=0n(nj)xn−jyj+1=∑j=0n(nj)xn+1−jyj+∑j=0n(nj)xn−jyj+1这里可以将其拆开来看一下∑j=0n(nj)xn+1−jyj=(n0)xn+1+(n1)xny+(n2)xn−1y2⋯+(nn−1)xyn−1+(nn)xyn∑j=0n(nj)xn−jyj+1=(n0)xny+(n1)xn−1y2⋯+(nn−1)xyn+(nn)yn+1基础步骤：当n=1时，上述结论正确。\\ 归纳步骤：假设当n时，结论成立。\\ 现在对于 {(x+y)}^{n+1}={(x+y)}^{n} \cdot (x+y)={(x+y)}^{n} \cdot x+{(x+y)}^{n} \cdot y\\ =\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {x}^{n+1-j}{y}^{j}+\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {x}^{n-j}{y}^{j+1}\\ =\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {x}^{n+1-j}{y}^{j}+\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {x}^{n-j}{y}^{j+1}\\ \\ 这里可以将其拆开来看一下\\ \sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {x}^{n+1-j}{y}^{j}=\binom{n}{0}{x}^{n+1}+\binom{n}{1} {x}^{n}y+\binom{n}{2} {x}^{n-1}{y}^{2} \cdots +\binom{n}{n-1} x{y}^{n-1}+\binom{n}{n} x{y}^{n}\\ \sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {x}^{n-j}{y}^{j+1}=\binom{n}{0} {x}^{n}y+\binom{n}{1} {x}^{n-1}{y}^{2} \cdots +\binom{n}{n-1} x{y}^{n}+ \binom{n}{n} {y}^{n+1} 基础步骤：当n=1时，上述结论正确。归纳步骤：假设当n时，结论成立。现在对于(x+y)n+1=(x+y)n⋅(x+y)=(x+y)n⋅x+(x+y)n⋅y=j=0∑n(jn)xn+1−jyj+j=0∑n(jn)xn−jyj+1=j=0∑n(jn)xn+1−jyj+j=0∑n(jn)xn−jyj+1这里可以将其拆开来看一下j=0∑n(jn)xn+1−jyj=(0n)xn+1+(1n)xny+(2n)xn−1y2⋯+(n−1n)xyn−1+(nn)xynj=0∑n(jn)xn−jyj+1=(0n)xny+(1n)xn−1y2⋯+(n−1n)xyn+(nn)yn+1
在这里插入一个公式：帕斯卡恒等式子（B站参考视频），基本形式和证明如下：
C(m,k)+C(m,k−1)=C(m+1,k)证明：m!(m−k)!k!+m!(m−k+1)!k!=m!(m−k+1)(m−k+1)!k!+m!k(m−k+1)!k!=m!(m−k+1+k)(m−k+1)!k!=(m+1)!(m+1−k)!k!=C(m+1,k)C(m,k)+C(m,k-1)=C(m+1,k)\\ 证明：\\ \frac{m!}{(m-k)!k!}+\frac{m!}{(m-k+1)!k!}=\frac{m!(m-k+1)}{(m-k+1)!k!}+\frac{m!k}{(m-k+1)!k!}\\ = \frac{m!(m-k+1+k)}{(m-k+1)!k!}=\frac{(m+1)!}{(m+1-k)!k!}=C(m+1,k) C(m,k)+C(m,k−1)=C(m+1,k)证明：(m−k)!k!m!+(m−k+1)!k!m!=(m−k+1)!k!m!(m−k+1)+(m−k+1)!k!m!k=(m−k+1)!k!m!(m−k+1+k)=(m+1−k)!k!(m+1)!=C(m+1,k)

接着上面的断掉的地方开始写
(x+y)n+1=(n0)xn+1+∑j=0n[(nj)+(nj+1)]xn−jyj+(n0)yn+1=xn+1+∑j=0n(n+1j+1)xn−jyj+yn+1=(n+10)xn+1y0+∑j=1n+1(n+1j+1)xn−jyj+(n+1n+1)x0yn+1=∑j=0n+1(n+1j)xn+1−jyj{(x+y)}^{n+1}=\binom{n}{0}{x}^{n+1}+\sum^{n}_{j=0}[\binom{n}{j}+\binom{n}{j+1}]{x}^{n-j}{y}^{j}+\binom{n}{0}{y}^{n+1}\\ ={x}^{n+1}+\sum^{n}_{j=0}\binom{n+1}{j+1}{x}^{n-j}{y}^{j}+{y}^{n+1}\\ =\binom{n+1}{0}{x}^{n+1}{y}^{0}+\sum^{n+1}_{j=1}\binom{n+1}{j+1}{x}^{n-j}{y}^{j}+\binom{n+1}{n+1}{x}^{0}{y}^{n+1}\\ =\sum^{n+1}_{j=0}\binom{n+1}{j} {x}^{n+1-j}{y}^{j} (x+y)n+1=(0n)xn+1+j=0∑n[(jn)+(j+1n)]xn−jyj+(0n)yn+1=xn+1+j=0∑n(j+1n+1)xn−jyj+yn+1=(0n+1)xn+1y0+j=1∑n+1(j+1n+1)xn−jyj+(n+1n+1)x0yn+1=j=0∑n+1(jn+1)xn+1−jyj
推论1：
∑j=0n(nj)=2n证明：∑j=0n(nj)(1n−j+1j)=(1+1)n=2n\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j}=2^n \\ 证明：\\ \sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j}({1}^{n-j}+1^j)=(1+1)^n=2^n j=0∑n(jn)=2n证明：j=0∑n(jn)(1n−j+1j)=(1+1)n=2n
推论2:
∑j=0n(nj)(−1)j=0证明：(1+(−1))n=0=∑j=0n(nj)(1n−j(−1)j)=∑j=0n(nj)(−1)j\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {(-1)}^{j}=0\\ 证明：\\ (1+(-1))^n=0=\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j}({{1}^{n-j}(-1)}^{j})=\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {(-1)}^{j} j=0∑n(jn)(−1)j=0证明：(1+(−1))n=0=j=0∑n(jn)(1n−j(−1)j)=j=0∑n(jn)(−1)j
推论3:
∑j=0n(nj)2j=3n证明：(1+2)n=3n=∑j=0n(nj)2j\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {2}^{j}=3^n\\ 证明：\\ (1+2)^n=3^n =\sum^{n}_{j=0} \binom{n}{j} {2}^{j} j=0∑n(jn)2j=3n证明：(1+2)n=3n=j=0∑n(jn)2j

范德蒙德恒等式

(m+nr)=∑k=0r(mr−k)(nk)\binom{m+n}{r}=\sum^{r}_{k=0} \binom{m}{r-k} \binom{n}{k} (rm+n)=k=0∑r(r−km)(kn)

书上给的证明我觉得很好，但是我还是更加相信数学推导，可是这块公式我推了半天没推成功，所以暂时搁置一下，说一下书上解释。

如果你要从两个集合中取总数为r的组合，那么你可以选择：

从第一个集合取0个，第二个集合取r个，那么就是 C(m,0)C(n,r)

从第一个集合取1个，第二个集合取r-1个，那么就是 C(m,1)C(n,r-1)

从第一个集合取2个，第二个集合取r-2个，那么就是 C(m,2)C(n,r-2)

同理

从第一个集合取r个，第二个集合取0个，那么就是 C(m,r)C(n,0)

将上面的公式总结起来就是上面的公式。

推论4：
当m=n时(2nr)=∑k=0r(nk)2当 m=n 时\\ \binom{2n}{r}=\sum^{r}_{k=0} {\binom{n}{k}}^{2} 当m=n时(r2n)=k=0∑r(kn)2
推论5:
(n+1r+1)=∑j=rn(jr)\binom{n+1}{r+1} = \sum^{n}_{j=r} \binom{j}{r} (r+1n+1)=j=r∑n(rj)
太累了，明天再想吧。