题目链接

一本通OJ：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1438。

我的OJ：http://47.110.135.197/problem.php?id=4473。

题目

题目描述

相比 Wildleopard 的家，他的弟弟 Mildleopard 比较穷。他的房子是狭窄的，而且在他的房间里仅有一个灯泡。每天晚上，他徘徊在自己狭小的房子里，思考如何赚更多的钱。有一天，他发现他的影子的长度随着他在灯泡和墙壁之间走动时会发生变化。一个突然的想法出现在他的脑海里，他想知道在房间里他的影子的最大长度。

输入

输入文件的第一行包含一个整数 T，表示测试数据的组数。
对于每组测试数据仅有一行包含三个实数 H，h 和 D，H 表示灯泡的高度，h 表示 Mildleopard 的身高，D 表示灯泡和墙的水平距离。

输出

输出文件共 T 行，每组数据占一行，表示影子的最大长度，保留三位小数。

样例输入

样例输出

1.000
0.750
4.000

数据范围

T ≤ 100，0.01 ≤ H, h, D ≤1000，0.01 ≤ H − h。

分析

数学相关

相似三角形。

题目分析

首先这是一个数学题，求的是影子长度。我们来讨论一个影子的可能：

1、影子并未碰到墙壁。如下图所示，这需要使用三角形的相似来解决。

如上图所示的情况，此时的相似比为 $\frac{H-h}{h}$ ，其中 h 表示 Mildleopard 的身高，那么影子的长度即为 $\frac{x\ast h}{H-h}$ 。

2、影子有一部分在墙壁上。如题目描述给的图所示。这就需要用两次相似来求影子在墙壁上的长度，如下图所示。

如上图所示的情况，利用直角构造两个三角形，当 Mildleopard 站在离灯泡 x 水平距离时，他与墙的距离即为D−x，那么这两个相似三角形的相似比即为 $\frac{x}{D-x}$ 。我们知道灯泡的高度与 Mildleopard 高度差为 H-h ，然后就可以计算出下面的三角形的较短边的长度为 $\frac{H-d}{\frac{x}{d-x}}=\frac{(H-d)\ast (D-x)}{x}$ ，这样我们就可以算出在墙上的影子的长度为 $h-\frac{(H-d)\ast (D-x)}{x}$ ，那么整个影子的长度为 $D-x+h-\frac{(H-d)\ast (D-x)}{x}$ 。

很明显，影子的两种可能都是单调的，合起来就是一个单峰函数。

算法思路

三分查找

那么问题就简单了，因为是浮点数计算，构造一个三分查找，注意要卡一下精度。套用标准浮点数三分查找模板，从 0 到 D 的范围内查找，实现 check 函数即可。

AC 参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;double H, h, D;//由于check函数需要用的，就用全局变量吧double check(double x) {if ((H-h)/x*(D-x)>h) {//灯的高度小于影子到墙底部距离。属于第二种情况return x/(H-h)*h;} else {//属于第一种情况return D-x+h-(H-h)/x*(D-x);}
}int main() {int t;cin>>t;int i, j;for (i=0; i<t; i++) {cin >> H >> h >> D;//三分查找double eps = 1e-8;double left=0;double right=D;double l_mid, r_mid;while (left+eps<right) {l_mid = left+(right-left)/3;r_mid = right-(right-left)/3;if (check(l_mid) > check(r_mid)) {right = r_mid;} else {left = l_mid;}}printf("%.3lf\n", check(left));}return 0;
}

直接计算

我们进一步用数学进行分析。假设图中对应的角度为 $\ss$ ，如果墙上有影子，那么函数关系可以推导出 $D+H-((H-h)/tan\ss +D\ast tan\ss )$ 。问题就变成如何求极值问题，那么有以下几种关系：

1、如果 $\sqrt{\frac{H-h}{D}}\geqslant \frac{H}{D}$ ，答案为 $h\ast \frac{D}{H}$ 。

2、如果 $\sqrt{\frac{H-h}{D}}\leqslant \frac{H-h}{D}$ ，答案为 $h$ 。

3、否则答案为 $D+H-2\ast \sqrt{(H-h)\ast D}$ 。

那么对应的代码就更简单了。

AC 参考代码

#include <cstdio>
#include <cmath>int main() {int t;scanf("%d", &t);for (int i=0; i<t; i++) {double H, h, D;scanf("%lf %lf %lf", &H, &h, &D);double ans = D-h*D/H;double val = sqrt((H-h)*D);if (ans<=val  && D>val) {ans = D+H-2*val;} else if (val<ans) {ans = h*D/H;} else {ans = h;}printf("%.3lf\n", ans);}return 0;
}

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输出

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