一般三次方程的简明新求根公式和判别法

—— 谢国芳Email: roixie@163.com

Abstract: In this article we derive a set of elegant new formulas for finding the roots of a cubic equation of the general form which are far more speedy and handy than Cardan’s formula, as well as a convenient new discrimination method for the roots of a cubic equation with real coefficients.

Key words: cubic equation, root-finding formula, Cardan’s formula

Table of Contents

1. 一般三次方程的简化和卡丹(Cardan)公式

2. 卡丹公式的缺陷和简约三次方程的新求根公式?

3. 一般三次方程的两个新求根公式

4 一般实系数三次方程的求解和根的判别法则1 一般三次方程的简化和卡丹(Cardan)公式

对于一般形式的三次方程 , 两边同除以，即可化为首项系数为1的三次方程

,

再作变量代换

,(1)

可消去二次项，将它化为下面的形式：,(2)

其中, .(3)

下面我们把形如式(2)的三次方程称为简约三次方程，它的解由著名的卡丹(J. Cardan，也译作卡当或卡尔丹、卡尔达诺)公式给出：(4)

其中(即三次单位根)，两个立方根满足约束条件

.(5)

2 卡丹公式的缺陷和简约三次方程的新求根公式

卡丹公式在理论上解决了三次方程的求解问题，可以说是一个在数学史上公式但在实际中却在实际中近似的数值如二分法、牛顿切线法迭代法等三次方程

第一仅仅是针对三次方程的求根公式，对于一般的三次方程，需要经过变换从先求出参数的值后才能套用公式求解这在实际应用中是很不方便的(拿二次方程的情形作类比卡丹公式方程的求根公式而对于一般的二次方程人们变换的形式后才能求解.)

第二，即使限于三次方程卡丹公式的复杂结构和冗长笨重的表达式也令人望而生畏，特别是对于比较复杂的数值由于需要反复地开方计算相当繁复.

第三，当虽然方程的三个根全都实数，但卡丹公式却复数的立方根，第，这个条件[1]，倘若没有这个约束条件，因为复数域内每个立方根有三个值，卡丹公式总共就会给出九个值，必须依靠约束条件(5)才能从中选出方程的三个根.卡丹公式的这个弊端在求解实系数三次方程的时候可能还不容易被人察觉[2]，但在求解复系数三次方程(比如本文的例题1)的时候就会凸显出来.

针对卡丹公式的上缺陷下我们将通过引入几个辅助参数将它彻底改造得到个新的一般三次方程.

定理1 对于三次方程，定义参数[3]

, ,(6)

则它的三个根为：(7)

参数可称为三次方程的关键比(key ratio).

定理2 对于三次方程，定义参数

, ,(8)

则它的三个根为[4](9)

参数亦可称为三次方程的关键比.

证明： 首先我们把卡丹公式(4)改写一下. 定义参数

,(10)

由约束条件(5)可得

,

代入式(4)，并将代入，即得方程的三个根为(11)

利用复数方根的性质(参见附录1)，当时可将式(10)改写为[5]

代入式(11)即得式(7).

同理，我们也可以将式(10)改写为[6]代入式(11)即得式(9).

3 一般三次方程的两个新求根公式

为了得到一般三次方程的求根公式，只要把相应的简约三次方程的关键比直接用系数表出即可.

将由式(3)给出的值代入和的定义式(参见式(6)、(8))可得[7]

,

.

定义, 则有

, .(12)

我们可以把它们称为三次方程的关键比.

根据定理1和定理2，并注意到和(参见式(1)、(3))，我们就得到了如下的结果.

定理3(一般三次方程的求根公式Ⅰ)对于三次方程，定义参数

, , ,(13)

则当时它的三个根为[8]：(14)

定理4(一般三次方程的求根公式Ⅱ)对于三次方程, 定义参数

, , ,(15)

则当时它的三个根为：(16)

注意上面这两个求根公式是完全等价的，它们的差别仅在于在关键比和的定义式中前面的符号一个为负一个为正(这导致和相差一个因子)，从而也使得参数和的定义式中出现了一个符号的差别(参见式(13)、(15)).

在实际应用中，我们可以使用这两个公式中的任意一个求解(可视方便而定)，除了根的编号可能不同之外，得到的结果当然是完全相同的.

例题1 解复系数三次方程.

解法1(用求根公式Ⅰ求解