【NOIP模拟】我的天
Description
很久很以前,有一个古老的村庄——xiba村,村子里生活着n+1个村民,但由于历届村长恐怖而且黑暗的魔法统治下,村民们各自过着独立的生活,完全没有意识到其他n个人的存在。
但有一天,村民xiba臻无意中也得到了魔法,并发现了这个恐怖的事实。为了反抗村长,他走遍了全世界,找到了其他n个村民,并组织他们发动革命。但让这n个素不相识的村民(xiba臻已跟他们认识)同心协力去抵抗村长是很困难的,所以xiba臻决定先让他们互相认识。
这里,xiba臻用了xiba村特有的xiba思维:先让这n个人排成一列,并依次从1-n标号。然后每次xiba臻会选出一个区间[l, r],在这个区间中的人会去认识其他在这个区间中的人,但已经认识过得不会再去认识。这样,进行m次操作后,xiba臻认为这n个人能认识到许多人。
但是,为了精确地知道当前有多少对人已经认识了,xiba臻想要知道每次操作后会新产生出多少对认识的人,但这已是xiba思维无法解决的事了,你能帮帮他吗?
Solution
一看就像一个数据结构题,一开始怎么写合并都不对,TAT。
只能换一换思路
想一想DP
我们发现一个人认识的那一段区间一定是连续的,我们设left[i]为i认识的序号最小的位置(或者可以说是i这个人对于他前面的还有多少个人不认识)。那么每次询问l到r这段区间,只用更新left然后统计一下答案就可以了。
时间复杂度O(nm),50分。
在用数据结构维护
一眼看去,好像怎么维护都会超时。
但是我们发现left从左到右画线一定是一个非减的图像(对转移方程花图像好像很有用),询问l到r区间之后,l到r的值全部变成了l,那么我们用一个数据结构去维护区间的最大值(l到r中如果最大的比要修改的值大,就修改,注意这是一个非减的函数)和区间和(所有不认识的点对总数)就好了。
明显用线段树维护就好了。
为什么这样就可以做呢
首先我们只用考虑单向的点对,比如说我维护了i认识j,那么就不用维护j认识i了。
因为每次只要有一个区间涉及到i,那么i不认识的人数才会减少。
因为我们实际上是维护的这个DP,取min就相当于把这个人不认识的人数更新。
那么这样操作就很显然了。
Code
50分的DP
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
const int maxn=300007;
using namespace std;
int i,j,k,l,n,m,ans,t;
int a[maxn],b[maxn],left[maxn];
bool bz[6000][6000];
int main(){freopen("ohmygod.in","r",stdin);freopen("ohmygod.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&m);fo(i,1,n) left[i]=i;fo(t,1,m){scanf("%d%d",&k,&l);ans=0;fo(j,k,l){if(left[j]>k)ans+=left[j]-k;left[j]=min(left[j],k); }printf("%d\n",ans);}
}
100分的线段树优化DP
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
typedef long long ll;
const int maxn=300007;
using namespace std;
int i,j,k,l,n,m,ii,p;
ll ans1,ans;
int a[maxn],b[maxn];
struct node{ll sum;int biao,da;
}t[maxn*5];
void build(int x,int l,int r){if(l==r){t[x].da=t[x].sum=l;}else{int mid=(l+r)/2;build(x*2,l,mid);build(x*2+1,mid+1,r);t[x].da=max(t[x*2].da,t[x*2+1].da);t[x].sum=t[x*2].sum+t[x*2+1].sum;}
}
void doing(int x,int l,int r,int z){int mid=(l+r)/2;if(!z)return;t[x].biao=0;t[x*2].biao=t[x*2+1].biao=z;t[x*2].da=t[x*2+1].da=z;t[x*2].sum=(mid-l+1)*z;t[x*2+1].sum=(r-(mid+1)+1)*z;
}
void change(int x,int l,int r,int y,int z,int o){if(y>z)return;if(l==y&&r==z){t[x].da=o;t[x].sum=(ll)(z-y+1)*o;t[x].biao=o; }else{doing(x,l,r,t[x].biao);int mid=(l+r)/2;if(z<=mid)change(x*2,l,mid,y,z,o);else if(y>mid)change(x*2+1,mid+1,r,y,z,o);else{change(x*2,l,mid,y,mid,o); change(x*2+1,mid+1,r,mid+1,z,o);}t[x].da=max(t[x*2].da,t[x*2+1].da);t[x].sum=t[x*2].sum+t[x*2+1].sum;}
}
int find(int x,int l,int r,int y){if(l==r)return l;int mid=(l+r)/2;if(t[x*2].da>y)return find(x*2,l,mid,y);else return find(x*2+1,mid+1,r,y);
}
int main(){freopen("ohmygod.in","r",stdin);freopen("ohmygod.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&m);build(1,1,n); fo(ii,1,m){scanf("%d%d",&k,&l);ans1=ans;if(t[1].da>k){p=find(1,1,n,k);change(1,1,n,p,l,k);}ans=(ll)n*(n+1)/2-t[1].sum;printf("%lld\n",ans-ans1);}
}
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