说明

本学期的通信原理课程设计，要做一个OFDM调制解调的仿真，现在基本上理解了OFDM调制的过程，并且参照实验平台上的代码，自己仿写了个简化突出的代码，因此，梳理一下思路，写个小小总结，方便后面写课设报告之用，也希望能方便其他OFDM初学者。

本文简要介绍OFDM原理和优势，并利用数学公示推导，着重讨论IFFT相关内容，参考《移动通信第五版》（其实也有很多地方没看懂或者觉得有错，这里写的仅是我的理解内容）。

本人也是OFDM初学者，可能有些地方理解不到位或者错误，希望各位老哥在线交流~

1.OFDM简介

OFDM全称正交频分复用，是一种高级的频分复用的调制技术。相对于传统FDM，它的频谱利用率更高，抗干扰能力更强。其基本思路是：

将串行数据并行,将并行的数据分别调制到各自的载波上去，且这些载波是正交的，然后合成各个已调的载波信号成为已调信号；在接收端，收到已调信号后，分别乘以对应的载波信号后积分，由于正交性，只有与自己相乘后积分才不为零，可以分别解调出对应的数据。

两大明显优势：

正交载波 ，由于载波正交，因此即便是载波间有重叠，也能还原出各载波信号。

图1 FDM&OFDM

串行数据并行化，串行数据传输过程中，一个比特数据错误，可能导致很大的前后误差，而并行数据传输就不一样了。

图2 OFDM原理框图

2.OFDM原理

串行原始数据，单个码元长度tst_{s}ts，将串行数据分组，一组N（载波数）个,Ts=N∗tsT_{s}=N*t_{s}Ts=N∗ts，N个子载波：fn=f0+n∗Δf,n=0,1,2,…N−1f_{n}=f_{0}+n*\Delta f,n=0,1,2,…N-1fn=f0+n∗Δf,n=0,1,2,…N−1;
载波间隔取 Δf=1/Ts=1/(N∗ts)\Delta f = 1/T_{s}=1/(N*t_{s})Δf=1/Ts=1/(N∗ts); d(n)d(n)d(n)即并行的一组的N个数据，用以给N个载波进行调制;

由上图OFDM原理框图可知：

OFDM实际发射的信号:

D(t)=∑n=0N−1d(n)∗cos(2πfnt)(1.1)D(t)=\sum_{n=0}^{N-1}d(n)*cos(2\pi f_{n}t)\tag{1.1}D(t)=n=0∑N−1d(n)∗cos(2πfnt)(1.1)

在接收端也是接收信号D(t)D(t)D(t)，乘以对应的频率后积分有：

d′(k)=∫0TsD(t)∗2cos(wkt)dt=∫0Ts∑n=0N−1d(n)2cos(wkt)2dt=d(k)d^{'}(k)=\int_{0}^{T_{s}}D(t)*2cos(w_{k}t)dt=\int_{0}^{T_{s}}\sum_{n=0}^{N-1}d(n)2cos(w_{k}t)^{2}dt=d(k) d′(k)=∫0TsD(t)∗2cos(wkt)dt=∫0Tsn=0∑N−1d(n)2cos(wkt)2dt=d(k)
补充：正交性：如果f(t)与g(t)正交f(t)与g(t)正交f(t)与g(t)正交
∫f(t)∗g(t)dt=0\int f(t)*g(t) dt=0 ∫f(t)∗g(t)dt=0

因此通过正交性能够恢复出原始信号。
实现OFDM一般在产生叠加的已调信号的时候有两种方法：
（1）叠加法（2）IDFT 法。

2.1叠加法

很简单，就是单纯的将各个载波调制的信号加起来，也就是式子（1-1）所表达内容，这里就不赘述了。

2.2IDFT

一般为了更加高效的调制，通常会进行一些数字调制、多进制调制，如QPSK、16QAM等，通过幅度和相位进行保存数据信息来进行调制。

D(t)=∑n=0N−1A(n)∗cos(2πfnt+ϕn)=∑n=0N−1A(n)cos(ϕn)cos(2πfnt)−A(n)sin(ϕn)sin(2πfnt)=∑n=0N−1a(n)cos(2πfnt)−b(n)sin(2πfnt)D(t)=\sum_{n=0}^{N-1}A(n)*cos(2\pi f_{n}t+\phi_{n}) \\ =\sum_{n=0}^{N-1}A(n)cos(\phi_{n})cos(2\pi f_{n}t)-A(n)sin(\phi_{n})sin(2\pi f_{n}t)\\ =\sum_{n=0}^{N-1}a(n)cos(2\pi f_{n}t)-b(n)sin(2\pi f_{n}t) D(t)=n=0∑N−1A(n)∗cos(2πfnt+ϕn)=n=0∑N−1A(n)cos(ϕn)cos(2πfnt)−A(n)sin(ϕn)sin(2πfnt)=n=0∑N−1a(n)cos(2πfnt)−b(n)sin(2πfnt)
写成复数形式如下：
D(t)=Re[∑n=0N−1(a(n)+jb(n))∗ej2πfnt](1.2)D(t)=Re[ \sum_{n=0}^{N-1}(a(n)+jb(n))*e^{j2\pi f_{n}t}] \tag{1.2} D(t)=Re[n=0∑N−1(a(n)+jb(n))∗ej2πfnt](1.2)
根据数字调制里面的知识，原始序列d(n)d(n)d(n)经过映射成为a(n)+jb(n)a(n)+jb(n)a(n)+jb(n),也就是星座图里面的实轴、虚轴值。

图3 a,b分别对应I,Q轴的值

由于d(n)映射成a(n)+jb(n)d(n)映射成a(n)+jb(n)d(n)映射成a(n)+jb(n)，故而式子（1.2）可写成下面形式：
D(t)=Re[∑n=0N−1d(n)∗ej2πfnt](1.3)D(t)=Re[ \sum_{n=0}^{N-1}d(n)*e^{j2\pi f_{n}t}] \tag{1.3} D(t)=Re[n=0∑N−1d(n)∗ej2πfnt](1.3)
将fn=f0+Δff_{n}=f_{0}+\Delta ffn=f0+Δf带入上式有：
D(t)=Re[∑n=0N−1d(n)∗ej2πf0t∗ej2πnΔft]D(t)=Re[ \sum_{n=0}^{N-1}d(n)*e^{j2\pi f_{0}t}*e^{j2\pi n\Delta ft}]\\ D(t)=Re[n=0∑N−1d(n)∗ej2πf0t∗ej2πnΔft]
如果对D(t)D(t)D(t)以采样频率FsFsFs进行采样得到离散序列：
D(m)=Re[∑n=0N−1d(n)∗ej2πf0m/Fs∗ej2πnΔfm/Fs](1.4)D(m)=Re[ \sum_{n=0}^{N-1}d(n)*e^{j2\pi f_{0}m/Fs}*e^{j2\pi n\Delta fm/Fs}] \tag{1.4} D(m)=Re[n=0∑N−1d(n)∗ej2πf0m/Fs∗ej2πnΔfm/Fs](1.4)
若Δf/Fs=1/N,即Fs=NΔf=N∗1/Ts=N∗1/(N∗ts)=1/ts\Delta f/Fs=1/N ,\\即Fs =N\Delta f=N*1/T_{s}=N*1/(N*t_{s})=1/t_{s}Δf/Fs=1/N,即Fs=NΔf=N∗1/Ts=N∗1/(N∗ts)=1/ts,则（1.4）可写为：
D(m)=Re[∑n=0N−1d(n)∗ej2πf0m/Fs∗ej2πnm/N]=Re[∑n=0N−1IDFT(d(n))∗ej2πf0m/Fs]=Re[∑n=0N−1IDFT(d(n))](若f0=0)(1.5)D(m)=Re[ \sum_{n=0}^{N-1}d(n)*e^{j2\pi f_{0}m/Fs}*e^{j2\pi nm/N}] \tag{1.5}\\=Re[ \sum_{n=0}^{N-1}IDFT(d(n))*e^{j2 \pi f_{0}m/Fs}]\\=Re[ \sum_{n=0}^{N-1}IDFT(d(n))] (若f_{0}=0) D(m)=Re[n=0∑N−1d(n)∗ej2πf0m/Fs∗ej2πnm/N]=Re[n=0∑N−1IDFT(d(n))∗ej2πf0m/Fs]=Re[n=0∑N−1IDFT(d(n))](若f0=0)(1.5)

IDFT定义为： x(n)=∑k=0N−1X(k)ej2πnk/N=IDFT(X(k))x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi nk/N}=IDFT(X(k))x(n)=∑k=0N−1X(k)ej2πnk/N=IDFT(X(k))

因此，可用并行序列的数字调制映射的IDFT得到叠加后的时域信号的采样的离散信号。当采样频率足够高，满足奈奎斯特速率，即可无失真，不损失频率分量，可见IDFT的可行高效。

3.OFDM仿真结果

进行MATLAB仿真，可得如下结果：

图4 四个载波时域图

图5 载波频谱（16QAM）

图6 两种方法的合成信号对比

4.Problem

1.为什么IDFT法得到的合成波形和叠加法的波形差别比较大？
答：IDFT得到的波形是连续信号的采样，可用通过对叠加法以同样频率采样得到信号在与IDFT的信号比较，不出意外，应该是相同的。

我也是刚刚写博客才想到这个问题的可能答案，还没来得及写代码验证，稍后有时间我会写代码看看。

2.前面分析IDFT里面采样频率Fs=NΔfFs=N\Delta fFs=NΔf，而合成信号最大频率是fmax=f0+NΔff_{max}=f_{0}+N\Delta ffmax=f0+NΔf，并不满足Fs>2fmaxF_{s}>2f_{max}Fs>2fmax，何解？

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