开方质数_如何心算大数的高次开方（个人观点）

电视节目《最强大脑》有一期展示了高次开方的心算，节目嘉宾出的一道题是开14次方，被开方数有16位。心算者的题目

心算者的答案为“12.0……”，计算器给出的精确答案为12.06900662，心算者算到了小数点后一位。

一、心算高次开方的秘密初探

秘密隐藏在何处？这里需要说明：开高次方比低次更容易。为了解释，引入以下结论

因此，心算者计算时，被开方数的大部分数字很可能没有做实质的运算。

二、心算高次开方需要的基本技能

1、心算99以内正整数的常用对数

首先记住一张“基本对数表”基本对数表

心算的基本做法是把真数分解为质因子的乘积(对因子10则不必再分解，因为易知lg10=1)，然后用乘积的对数运算法则与对数表得出结果。

真数含有大于20的质因子时，上述方法存在困难。对于这些质数，需利用以下公式

2、心算10^0.001~10^0.999的近似值

这项技能也要对“基本对数表”比较熟悉。方法是巧用对数表确定结果的大致范围，再用尝试法得到保留一位小数的情况下最接近答案的数(称为“估计值”)，最后加上修正值得到答案。

下面用实例说明心算方法

以上是一般的做法，实际中如果幂次减去尝试值的对数得到的结果绝对值<0.01，就可直接将此尝试值作为估计值。另外，幂次x<0.02时，还可用10^x≈1+2.3x做快速估算。

三、心算高次开方(≥10次)的方法

这里用实例来阐述心算高次开方的具体过程，文章开头的题目为例：

第1步用四舍五入简化被开方数，第二位以后的数全变为0。

第2步把简化后被开方数的前两位看作一个两位数，求其自然对数，再加上被开方数中“0”的个数，得到被开方数的对数值。

第3步将被开方数的对数值除以开方次数，即：15.146÷14≈1.082。

第4步至此，开方结果可写成10^1.082，然后计算它的数值。

以上结果的前三位有效数字都是正确的，因此就这道题而言，本文的心算方法精度不低于节目中的心算者。

在四舍五入保留一位小数的情况下，上面的结果(12.08≈12.1)和精确答案(12.069≈12.1)相同，因此这里的精度比心算者略高。

【结语】

最后要说的是，上述方法或许看起来复杂，但只要熟记基本对数表，多训练几次，速度就会加快。假设记忆力足够强，能够直接背下99以内整数的对数值，那么心算开方的第2步和第4步中的对数计算将瞬间完成，节省大量时间。我们不应忽视记忆在心算中的作用。

另外由于不能了解心算者的思维过程，本文的心算方法是根据常规思路给出的，心算者或许有其他方法。心算者可能熟记了一些幂运算的结果，例如12^14≈1.28e15，13^14≈3.94e15，1.28<1.39<3.94，这样就能迅速锁定1391237759766345开14次方的整数部分=12，然后利用x/A<<1时的公式(A+x)^n≈A^n(1+nx/A)“试探”出小数部分，当然这只是个人猜测。

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