任意四面体的外接球的半径(克列尔(A.L.Crelle)公式)

【问题提出】克列尔(A.L.Crelle)公式

对任意四面体ABCDABCDABCD，其体积VVV和外接球半径R" role="presentation">RRR满足

6RV=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.6RV=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1).

6RV=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}.

其中p=12(aa1+bb1+cc1)p=12(aa1+bb1+cc1)p=\frac 12(aa_1+bb_1+cc_1)，a,a1,b,b1,c,c1a,a1,b,b1,c,c1a,a_1,b,b_1,c,c_1分别为四面体的三组对棱的长.

允许我先跑个题且在正文里介绍下近代欧氏几何学中的布洛卡点. 克列尔(1780-1855)法国数学家和数学教育家，布洛卡点早在1816年就被克列尔首次发现，1875年被法国军官布洛卡(Brocard)重新发现此特殊点并用他的名字命名，这才引起莱莫恩，图克等一大批数学家兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮.

【布洛卡点】 2013年全国卷I第17题的背景是也

点PPP是△ABC" role="presentation">△ABC△ABC\triangle ABC内部一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α∠PAB=∠PBC=∠PCA=α\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\alpha，则称αα\alpha为布洛卡角，点PPP为布洛卡点.

这里说个特殊情况，当α=30∘" role="presentation">α=30∘α=30∘\alpha=30^\circ时，则此△ABC△ABC\triangle ABC为正三角形，这是个看似简单实难的几何题.

【简单引理】四面体的体积公式之一

V=23a⋅S1S2⋅sinθV=23a⋅S1S2⋅sin⁡θV=\frac 2{3a}\cdot S_1S_2\cdot \sin \theta，其中，S1,S2S1,S2S_1,S_2为以aaa为公共棱的两个面的面积，θ" role="presentation">θθ\theta为这两个面所成的二面角.

此式的证明极易，只需要将V=13ShV=13ShV=\frac 13Sh中的hhh用这两个面的夹角表示即可.

【问题解决】辅助线爽心悦目，千锤百炼，叹为观止

证明：如图所示，过A" role="presentation">AAA作四面体外接球的切面αα\alpha，过DDD作平面ABC" role="presentation">ABCABCABC平行平面ββ\beta.

平面αα\alpha，平面ββ\beta，平面ABDABD ABD相交于点EEE；

平面α" role="presentation">αα\alpha，平面ββ\beta，平面ACDACD ACD相交于点FFF.

平面β\sslash" role="presentation">β\sslashβ\sslash\beta \sslash 平面ABCABCABC，平面ACDACDACD与这两面均相交，由平面平行性质可知AC\sslashDFAC\sslashDFAC\sslash DF，需要提醒的是，ACACAC与DFDFDF是否相等无法判断.

于是∠ADF=∠DAC∠ADF=∠DAC\angle ADF=\angle DAC，由于平面αα\alpha是四面体外接球的{\FZK \color{red}切面}，所以在平面ACDACDACD中，AFAFAF是⊙ACD⊙ACD\odot ACD在点AAA的切线，由弦切角定理，知∠FAD=∠ACD" role="presentation">∠FAD=∠ACD∠FAD=∠ACD\angle FAD=\angle ACD，所以

△FAD∼△DCA⇒AFa=cb⇒AF=acb.△FAD∼△DCA⇒AFa=cb⇒AF=acb.

\triangle FAD \sim \triangle DCA\Rightarrow \frac{AF}a=\frac cb\Rightarrow AF=\frac {ac}b.

同理由AB\sslashDEAB\sslashDEAB\sslash DE，有∠ADE=∠DAB∠ADE=∠DAB\angle ADE=\angle DAB在平面ABDABDABD中AEAEAE为⊙ABD⊙ABD\odot ABD的切线，有∠EAD=∠ABD∠EAD=∠ABD\angle EAD=\angle ABD，所以

△EAD∼△DBA⇒AEb1=ca1⇒AE=b1ca1.△EAD∼△DBA⇒AEb1=ca1⇒AE=b1ca1.

\triangle EAD \sim \triangle DBA\Rightarrow \frac{AE}{b_1}=\frac c{a_1}\Rightarrow AE=\frac {b_1c}{a_1}.

下面求EFEFEF的长.

同样的方法，如图，作平面γ \sslashγ\sslash\gamma\ \sslash平面ACDACDACD，这样三面相交得到点GGG，H" role="presentation">HHH.

同样可得

AG=a1c1b,AH=a1b1c.AG=a1c1b,AH=a1b1c.

AG=\frac {a_1c_1}b,AH=\frac{a_1b_1}c.

平面α ∩α∩\alpha\ \cap平面ABC=AGABC=AGABC=AG，平面α ∩α∩\alpha \ \cap平面β=EFβ=EF\beta=EF，平面ABC\sslashABC\sslashABC\sslash 平面ββ\beta，于是AG\sslashEFAG\sslashEFAG\sslash EF，同理知GH\sslashAFGH\sslashAFGH\sslash AF，而H,A,EH,A,EH,A,E在一条线(平面αα\alpha与平面ABDABDABD的交线)上，所以

△EFA∼△AGH⇒EFAG=AEAH⇒EF=c2c1a1b.△EFA∼△AGH⇒EFAG=AEAH⇒EF=c2c1a1b.

\triangle EFA \sim \triangle AGH\Rightarrow \frac{EF}{AG}=\frac {AE}{AH}\Rightarrow EF=\frac {c^2c_1}{a_1b}.

将△AEF△AEF\triangle AEF放缩a1bca1bc\dfrac{a_1b}{c}倍，就得到三边为aa1aa1aa_1，bb1bb1bb_1，cc1cc1cc_1的三角形，由海伦公式，将此三角形的面积记为

S=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.S=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1).

S=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}.

设点DDD在四面体ABCD" role="presentation">ABCDABCDABCD外接球过AAA的直径上的投影为D′" role="presentation">D′D′D'，则

h=AD′=AD22R=c22R.h=AD′=AD22R=c22R.

h=AD'=\frac{AD^2}{2R}=\frac {c^2}{2R}.

这样一来，

V1=VD−AEF=13S(ca1b)2h=c4a21b2⋅S6R.V1=VD−AEF=13S(ca1b)2h=c4a12b2⋅S6R.

V_1=V_{D-AEF}=\frac13 S \left(\frac c{a_1b}\right)^2 h=\frac{c^4}{a_1^2b^2}\cdot \frac{S}{6R}.

另一方面，四面体ADEFADEFADEF与四面体ABCDABCDABCD的体积比为

V1V=S△ADF⋅S△ADES△ACD⋅S△ABD=S△ADFS△ACD⋅S△ADES△ABD=(AFa)2⋅(AEb1)2=c2b2⋅c2a21=c4a21b2V1V=S△ADF⋅S△ADES△ACD⋅S△ABD=S△ADFS△ACD⋅S△ADES△ABD=(AFa)2⋅(AEb1)2=c2b2⋅c2a12=c4a12b2

\begin{align*}\frac{V_1}{V}&=\frac{S_{\triangle ADF}\cdot S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ACD}\cdot S_{\triangle ABD}}\\ &=\frac{S_{\triangle ADF}}{S_{\triangle ACD}}\cdot \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABD}}\\ &=\left(\frac{AF}a\right)^2\cdot \left(\frac{AE}{b_1}\right)^2\\ &=\frac {c^2}{b^2}\cdot\frac {c^2}{a_1^2}=\frac {c^4}{a_1^2b^2} \end{align*}

∴V1=c4a21b2⋅V.∴V1=c4a12b2⋅V.

\therefore V_1=\frac {c^4}{a_1^2b^2}\cdot V.

从而

6RV=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6RV=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1)

6RV=\sqrt{p(p-aa_1)(p-bb_1)(p-cc_1)}. \qed

PS:高考中的热点与难点
PSS:1988年赵光明、武建沛在《数学教学》发表了“任意四面体外接球半径的计算公式”，从角出发；本文从六条边出发，即克列尔(A.L.Crelle)公式，参考了唐立华著的《向量与立体几何》；沈文选、张垚、冷岗松著的《奥林匹克数学中的几何问题》
PSSS:\sslash 表示平行