Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

2.算法描述

1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画如下图(图片来自网络):

算法实现如下:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;namespace Dijkstra算法
{class Program{static int length = 6;static string[] shortedPath = new string[length];static int noPath = 2000;static int MaxSize = 1000;static int[,] G = { { noPath, noPath, 10, noPath, 30, 100 }, { noPath, noPath, 5, noPath, noPath, noPath }, { noPath, noPath, noPath, 50, noPath, noPath }, { noPath, noPath, noPath, noPath, noPath, 10 }, { noPath, noPath, noPath, 20, noPath, 60 }, { noPath, noPath, noPath, noPath, noPath, noPath } };static string[] PathResult = new string[length];static int[] path1 = new int[length];static int[,] path2 = new int[length, length];static int[] distance2 = new int[length];static void Main(string[] args){int dist1 = getShortedPath(G, 0, 5, path1);Console.WriteLine("Node 0 To 5:");for (int i = 0; i < path1.Length; i++)Console.Write(path1[i].ToString() + " ");Console.WriteLine("Length:" + dist1);int[] pathdist = getShortedPath(G, 0, path2);Console.WriteLine("\nNode 0 To other:");for (int j = 0; j < pathdist.Length; j++){Console.WriteLine("Node 0 to " + j + " path:");for (int i = 0; i < length; i++){Console.Write(path2[j, i].ToString() + " ");}Console.WriteLine("length:" + pathdist[j]);}Console.ReadKey();}//从某一源点出发,找到到某一结点的最短路径static int getShortedPath(int[,] G, int start, int end, int[] path){bool[] s = new bool[length]; //表示找到起始结点与当前结点间的最短路径int min;  //最小距离临时变量int curNode = 0; //临时结点,记录当前正计算结点int[] dist = new int[length];int[] prev = new int[length];//初始结点信息for (int v = 0; v < length; v++){s[v] = false;dist[v] = G[start, v];if (dist[v] > MaxSize)prev[v] = 0;elseprev[v] = start;}path[0] = end;dist[start] = 0;s[start] = true;//主循环for (int i = 1; i < length; i++){min = MaxSize;for (int w = 0; w < length; w++){if (!s[w] && dist[w] < min){curNode = w;min = dist[w];}}s[curNode] = true;for (int j = 0; j < length; j++)if (!s[j] && min + G[curNode, j] < dist[j]){dist[j] = min + G[curNode, j];prev[j] = curNode;}}//输出路径结点int e = end, step = 0;while (e != start){step++;path[step] = prev[e];e = prev[e];}for (int i = step; i > step / 2; i--){int temp = path[step - i];path[step - i] = path[i];path[i] = temp;}return dist[end];}//从某一源点出发,找到到所有结点的最短路径static int[] getShortedPath(int[,] G, int start, int[,] path){int[] PathID = new int[length];//路径(用编号表示)bool[] s = new bool[length]; //表示找到起始结点与当前结点间的最短路径int min;  //最小距离临时变量int curNode = 0; //临时结点,记录当前正计算结点int[] dist = new int[length];int[] prev = new int[length];//初始结点信息for (int v = 0; v < length; v++){s[v] = false;dist[v] = G[start, v];if (dist[v] > MaxSize)prev[v] = 0;elseprev[v] = start;path[v, 0] = v;}dist[start] = 0;s[start] = true;//主循环for (int i = 1; i < length; i++){min = MaxSize;for (int w = 0; w < length; w++){if (!s[w] && dist[w] < min){curNode = w;min = dist[w];}}s[curNode] = true;for (int j = 0; j < length; j++){if (!s[j] && min + G[curNode, j] < dist[j]){dist[j] = min + G[curNode, j];prev[j] = curNode;}}}//输出路径结点for (int k = 0; k < length; k++){int e = k, step = 0;while (e != start){step++;path[k, step] = prev[e];e = prev[e];}for (int i = step; i > step / 2; i--){int temp = path[k, step - i];path[k, step - i] = path[k, i];path[k, i] = temp;}}return dist;}}
}

转载于:https://www.cnblogs.com/yunfeifei/p/4301755.html

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