大话数据结构：最短路径算法

dijkstra最短路径算法

迪杰斯特算法的核心是首先正向把离起点最近的点一个一个找出来，然后从终点开始逆向计算最短路径
利用图数据结构实现dijkstra算法的伪代码如下

{记录所有点到起点的距离并保存到数组D中，有直接连接的就是图中边的权值，
没有直接连接的就是无穷大（起点到起点本身距离为0，后面的计算不考虑本身）}
创建一个数组F记录顶点是否已经计算离顶点最近的距离
创建一个保存路径的数组P
循环顶点个数的次数{{找到一个没有计算与顶点最近的距离的顶点k但是其在距离记录数组D中距离顶点D最近，将其在数组D中的值作为其距离顶点最近的距离，并在数组F中标记其为以计算最近距离}将于K有连接的顶点w在距离D中的值更新，如果通过顶点K，距离D中的值变小就更新，p[w]=k}
循环结束，最短路径距离在D中，路径在P中

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535typedef int Status;   /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */typedef struct
{int vexs[MAXVEX];int arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;
}MGraph;typedef int Patharc[MAXVEX];    /* 用于存储最短路径下标的数组 */
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];/* 用于存储到各点最短路径的权值和 *//* 构件图 */
void CreateMGraph(MGraph* G)
{int i, j;/* printf("请输入边数和顶点数:"); */G->numEdges = 16;G->numVertexes = 9;for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */{G->vexs[i] = i;}for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */{for (j = 0; j < G->numVertexes; j++){if (i == j)G->arc[i][j] = 0;elseG->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;}}G->arc[0][1] = 1;G->arc[0][2] = 5;G->arc[1][2] = 3;G->arc[1][3] = 7;G->arc[1][4] = 5;G->arc[2][4] = 1;G->arc[2][5] = 7;G->arc[3][4] = 2;G->arc[3][6] = 3;G->arc[4][5] = 3;G->arc[4][6] = 6;G->arc[4][7] = 9;G->arc[5][7] = 5;G->arc[6][7] = 2;G->arc[6][8] = 7;G->arc[7][8] = 4;for (i = 0; i < G->numVertexes; i++){for (j = i; j < G->numVertexes; j++){G->arc[j][i] = G->arc[i][j];}}}
/*  Dijkstra算法，求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */
/*  P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */void ShortestPth_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc* P, ShortPathTable* D)
{int v, w, k, min;int final[MAXVEX];/* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */for (v = 0; v < G.numVertexes; v++)    /* 初始化数据 */{final[v] = 0;            /* 全部顶点初始化为未知最短路径状态 */(*D)[v] = G.arc[v0][v];/* 将与v0点有连线的顶点加上权值 */(*P)[v] = -1;               /* 初始化路径数组P为-1  */}(*D)[v0] = 0;  /* v0至v0路径为0 */final[v0] = 1;    /* v0至v0不需要求路径 *//* 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径 ,并且更新之前的距离*/for (int v = 1; v < G.numVertexes; v++){min = INFINITY; /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */        for (int w = 0; w < G.numVertexes; w++){if (!final[w] && (*D)[w] < min ) // 找到还没有计算距离V0点的中最近的点{k = w;min = (*D)[w];}}final[k] = 1;    /* 将目前找到的最近的顶点置为1 ，表示已经计算了距离*///因为新找到了点，对之前所有确定距离的点更新距离for (int w = 0; w < G.numVertexes; w++){/* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */if (!final[w] && (min + G.arc[k][w] < (*D)[w])){ /*  说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w] */(*D)[w] = min + G.arc[k][w];  /* 修改当前路径长度 */(*P)[w] = k;}}}
}int main(void)
{int i, j, v0;MGraph G;Patharc P;ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */v0 = 0;CreateMGraph(&G);ShortestPth_Dijkstra(G, v0, &P, &D);printf("最短路径倒序如下:\n");for (i = 1; i < G.numVertexes; ++i){printf("v%d - v%d : ", v0, i);j = i;while (P[j] != -1){printf("%d ", P[j]);j = P[j];}printf("\n");}printf("\n源点到各顶点的最短路径长度为:\n");for (i = 1; i < G.numVertexes; ++i)printf("v%d - v%d : %d \n", G.vexs[0], G.vexs[i], D[i]);return 0;
}

floyd算法

算法的核心操作和dijkstra算法类似，都是先建立一个距离矩阵D和路径矩阵P,然后不断更新两个矩阵。

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535typedef int Status;   /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */typedef struct
{int vexs[MAXVEX];int arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;
}MGraph;typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];/* 构件图 */
void CreateMGraph(MGraph* G)
{int i, j;/* printf("请输入边数和顶点数:"); */G->numEdges = 16;G->numVertexes = 9;for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */{G->vexs[i] = i;}for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */{for (j = 0; j < G->numVertexes; j++){if (i == j)G->arc[i][j] = 0;elseG->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;}}G->arc[0][1] = 1;G->arc[0][2] = 5;G->arc[1][2] = 3;G->arc[1][3] = 7;G->arc[1][4] = 5;G->arc[2][4] = 1;G->arc[2][5] = 7;G->arc[3][4] = 2;G->arc[3][6] = 3;G->arc[4][5] = 3;G->arc[4][6] = 6;G->arc[4][7] = 9;G->arc[5][7] = 5;G->arc[6][7] = 2;G->arc[6][8] = 7;G->arc[7][8] = 4;for (i = 0; i < G->numVertexes; i++){for (j = i; j < G->numVertexes; j++){G->arc[j][i] = G->arc[i][j];}}}/* Floyd算法，求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w] */
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc* P, ShortPathTable* D)
{int v, w, k;for (int v = 0; v < G.numVertexes; ++v){for (int w = 0; w < G.numVertexes; ++w){(*D)[v][w] = G.arc[v][w]; /* D[v][w]值即为对应点间的权值 */(*P)[v][w] = w;             /* 初始化P */}}for (int k = 0; k < G.numVertexes; ++k){for (int v = 0; v < G.numVertexes; ++v){for (int w = 0; w < G.numVertexes; ++w){if ((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){/* 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 ,就更新距离矩阵D*/(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];/* 将当前两点间权值设为更小的一个 */(*P)[v][w] = (*P)[v][k];/* 路径设置为经过下标为k的顶点,前驱顶点 */}}}}
}
int main(void)
{int v, w, k;MGraph G;Patharc P;ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */CreateMGraph(&G);ShortestPath_Floyd(G, &P, &D);printf("各顶点间最短路径如下:\n");for (v = 0; v < G.numVertexes; ++v){for (w = v + 1; w < G.numVertexes; w++){printf("v%d-v%d weight: %d ", v, w, D[v][w]);k = P[v][w];             /* 获得第一个路径顶点下标 */printf(" path: %d", v);  /* 打印源点 */while (k != w)               /* 如果路径顶点下标不是终点 */{printf(" -> %d", k);    /* 打印路径顶点 */k = P[k][w];           /* 获得下一个路径顶点下标 */}printf(" -> %d\n", w);   /* 打印终点 */}printf("\n");}printf("最短路径D\n");for (v = 0; v < G.numVertexes; ++v){for (w = 0; w < G.numVertexes; ++w){printf("%d\t", D[v][w]);}printf("\n");}printf("最短路径P\n");for (v = 0; v < G.numVertexes; ++v){for (w = 0; w < G.numVertexes; ++w){printf("%d ", P[v][w]);}printf("\n");}return 0;
}

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