计组—浮点数表示和运算

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浮点数的表示

科学计数法

任意一个十进制数N可以写成：

同样，在计算机中一个任意进制数N可以写成

在计算机的世界里R默认是2，表示二进制，因此R在计算机中不用单独存储，而M和e需要单独存储

尾数(M)：用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度

阶码(E)：表示指数(并不等同于e，他们之间有一种对应关系)，用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围

比例因子(R)：不表示，默认值，一般为2

问题：在计算机中各个部分分别占据多少位？

IEEE754标准浮点数的表示方法

单精度float总共32位，

32位的浮点数中:

S：浮点数的符号位（即最高位表示符号位），占1位，0表示正数，1表示负数

M：尾数，占23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面

E：阶码，占8位，阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数

指数e和阶码E之间的对应关系，应将指数e加上一个固定的偏移值，即：E=e+127

IEEE754标准中，一个规格化的32位浮点数 x的真值可表示为：

其中(-1)^s，s表示符号位，s=0则(-1)^0=1为正数，s=1则(-1)^1=-1为负数；

M表示阶码，默认为1 * M，e=E-127

其中，S、M、E都存在计算机中，而其它数值都是默认固定的

64位的浮点数：

S：浮点数的符号位（即最高位表示符号位），占1位，0表示正数，1表示负数

M：尾数，占51位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面

E：阶码，占11位，阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数

同理一个规格化的64位浮点数x的真值为：

例：

说明：

（1.75）10 = 1.11 * 2^0

对于32位的浮点数来说：

所以因为是正数S=0

因为是1.M的格式，所以M=1100000...0 (因为总共23位，存在2个1，所以后面21个0)

因为e=0，而E=127+e，所以E=127

补充说明：

(1)当阶码E为全0（0000,0000）且尾数M也为全0时，表示的真值x为零，结合符号位S为0或1，有正零和负零之分。

(2)当阶码E位全1（1111,1111即255）且尾数M为全0（0000,0000）时，表示的浮点数为无穷大，结合符号位S为0或1，也有+无穷和-无穷之分

因此在32位浮点数表示中，要除去E用全00000000和全11111111(255)10表示零和无穷大的特殊情况，因此阶码E的取值范围为00000001(1)到11111110(254)；又因为e=E-127，所以e的取值范围为（1-127） ~ （254-127）即 -126 ~ +127

浮点数的加减运算

两浮点数进行加法和减法的运算规则即操作过程大体分为四步：

1.0操作数的检查

判断两个操作数x或y中有一个数为0，则直接得出结果

2.比较阶码大小并完成对阶

判断两个操作数的阶码是否相同，如果相同则直接进行尾数的加减法运算。如果不同则需要使两个操作数的阶码相同即对阶，首先求出两个数的阶差，由于尾数左移会引起最高有效位的丢失，造成很大的误差，尾数右移虽引起最低有效位的丢失，但造成的误差较小，因此对阶操作规定使尾数右移，尾数右移后阶码作相应增加，其数值保持不变。显然，一个增加后的阶码与另一个阶码相等，增加的阶码一定是小阶。

因此对阶的原则是小阶向大阶看齐，即小阶的位数向右移位（相当于小数点左移）每右移一位，其阶码加1，直到两数的阶码相等为止，右移得位数等于阶差。

3.尾数进行加或减法运算

4.结果规格化并进行舍入处理

规格化：

1/2 =< |M| < 1

(M是小数，所谓M>=1/2 即：|M|>=0.1，因为是按二进制处理，1/2即右移一位即0.1)

但在浮点运算中，尾数求和结果的绝对值大于1（即溢出符号位为01或10），叫做向左破坏了规格化；此时将尾数运算结果右移以实现规格化表示，称为向右规格化；尾数右移一位，阶码加1；以保证浮点数大小不变；

运算结果的绝对值小于1/2，叫做向右破坏规格化，此时将尾数结果左移实现规格化表示，称为向左规格化；尾数左移一位，阶码减1，以保证浮点数大小不变；

（1）尾数用原码表示，[S]原=Sf.S1S2....Sn，如果尾数未发生溢出，但S1=0，则向右规格化，即S1必须等于1，否则需要进行规格化处理

（2）尾数用补码来表示，[S]补=Sf.S1S2....Sn，如果尾数未发生溢出，但Sf 异或 S1=0，即Sf和S1相同，则向右破坏规格化

浮点数的溢出是以阶码溢出表现出来的（因为如果是尾数溢出可以通过相应的右移处理，所以尾数溢出称为假溢出）。在加减法运算过程中要检查是否产生了溢出；若阶码正常加（减）运算正常结束；若阶码溢出，则要进行相应处理

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