背包问题

七、背包问题
- 1、01背包问题
- - 1.1 问题描述
  - 1.2 问题分析
  - 1.3 代码实现
  - 1.4 代码优化写法
- 2、多重背包问题
- - 2.1 题目描述
  - 2.2 问题分析
  - 2.3 代码实现
  - 2.4 空间优化后的代码
- 3、完全背包问题
- - 3.1 题目描述
  - 3.2 问题分析
  - 3.3 代码实现
  - 3.4优化后的代码

七、背包问题

1、01背包问题

1.1 问题描述

当前有N件物品和一个容积为V的背包。已知第i件物品的体积是Ci，价值是Wi。由于每种物品有且仅有一件，因此只能选择放或不放，我们称之为01背包问题。
现在你需要选出若干件物品，在它们的重量之和不超过V的条件下，使得价值总和尽可能大。

1.2 问题分析

对于01背包，先确定这个问题的状态。共有N个物品，背包总承重为V,那么可以根据物品和容量来确定一个状态。前i个物品，放在背包里，总重量不超过j的前提下，所获得的最大价值为dp[i][j]。

是否将第i个物品装入背包中，就是决策。为了使价值最大化，如果第i个物品放入背包后，总重量不超过限制且总价值比之前要大，那么就将第i个物品放入背包。根据这个逻辑写出转移方程：

1.3 代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[21][1010];
int w[21],c[21]
int main(){int N,V;cin>>N>>V;//输入物品的个数N和背包体积for(int i=1;i<=N;i++){//输入N和物品的价值和体积cin>>w[i]>>c[i]; }for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=0;j<=V;j++){if(j>=c[i]){dp[i][j]=max(dp[i-1][j-c[i]]+w[i],dp[i-1][j]);}else{dp[i][j]=dp[i-1][j];}}}cout<<dp[N][V]<<endl;return 0;
}

1.4 代码优化写法

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1010];
int w[21],c[21]
int main(){int N,V;cin>>N>>V;//输入物品的个数N和背包体积Vfor(int i=1;i<=N;i++){//输入N个物体各自的价值和体积cin>>w[i]>>c[i];  }for(int i=1;i<=N;i++){//循环枚举每个物体for(int j=0;j>=c[i];j--){//循环枚举背包体积，从大到小排序以保证更新顺序正确dp[j]=max(dp[j-c[i]]+w[i],dp[j]);}}cout<<dp[V]<<endl;return 0;
}

2、多重背包问题

2.1 题目描述

有N种物品，第i种物品的体积是c[i]，价值是w[i]，每种物品的数量都是有限的，为n[i]。现有容量为V的背包，请你放入若干物品，在总体积不超过V的条件下，使总价值尽可能大。

2.2 问题分析

2.3 代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[21][1010];
int w[21],c[21],n[21];
int main()
{int N,V;cin>>N>>V;for(int i=1;i<=N;++i)cin>>w[i]>>c[i]>>n[i];//输入N个物体各自的价值、体积和个数for(int i=1;i<=N;++i)//枚举第i个物品选出的个数为k{for(int j=0;j<=V;++j)//循环枚举每个物体{for(int k=0;k<=n[i];++k){if(j>=c[i]*k)dp[i][j]=max(dp[i-1][j-c[i]*k]+w[i]*k,dp[i][j]);}}}cout<<dp[N][V]<<endl;return 0;
}

2.4 空间优化后的代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1010];
int w[21],c[21],n[21];
int main()
{int N,V;cin>>N>>V;for(int i=1;i<=N;++i)cin>>w[i]>>c[i]>>n[i];for(int i=1;i<=N;++i){for(int j=0;j>=0;j--){for(int k=0;k<=n[i];++k){if(j>=c[i]*k)dp[j]=max(dp[j-c[i]*k]+w[i]*k,dp[j]);}}}cout<<dp[V]<<endl;return 0;
}

3、完全背包问题

3.1 题目描述

当前有N种物品，第i种物品的体积是c[i]，价值是w[i]。
每种物品的数量都是无限的，可以任意选择若干件。
现有容量为V的背包，请你放入若干物品，在总体积不超过V的条件下，使总价值尽可能大。
与01背包问题的区别就是物品有无限多个.

3.2 问题分析

3.3 代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[21][1010];
int w[21],c[21];
int main()
{int N,V;cin>>N>>V;for(int i=1;i<=N;++i)//输入N个物体各自的价值和体积cin>>w[i]>>c[i];for(int i=1;i<=N;++i)//由状态转移方程可得{for(int j=0;j<=V;++j){if(j>=c[i])dp[i][j]=max(dp[i][j-c[i]]+w[i],dp[i-1][j]);else dp[i][j]=dp[i-1][j];}}cout<<dp[N][V]<<endl;return 0;
}

3.4优化后的代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1010];
int w[21],c[21];
int main()
{int N,V;cin>>N>>V;for(int i=1;i<=N;++i)cin>>w[i]>>c[i];for(int i=1;i<=N;++i)//循环枚举每个物品{for(int j=c[i];j<=V;++j)//循环枚举背包体积，体积按照从小到大的顺序枚举，保证更新的顺序正确。{dp[j]=max(dp[j-c[i]]+w[i],dp[j]);}}cout<<dp[V]<<endl;return 0;
}

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