现代控制理论（一） 状态空间方程
文章目录
- 状态方程和输出方程
- 基本的状态空间方程
- 线性非线性时变时不变
- 系统的能控能观
- 状态方程的解
- 无输入线性时不变
- 转移矩阵
- 拉普拉斯求转移矩阵
- 有输入线性时不变
控制什么？
输入u1,u2,u3,…输出y1,y2,y3…的系统。u是控制量，y是响应结果，也可以被反馈测量到。
状态方程和输出方程
基本的状态空间方程
第一行是状态方程，第二行是输出方程。
首先x是状态变量。一个x就是系统的一个状态。但也不能随便找系统中一个变量就都当作状态，找来做状态变量的状态，它的初值一定要与输出量y密切相关。看起来，状态变量像是系统的中间量。但实际上它的初值能够决定输出。简单来说，系统的输出与输入以及状态变量初值有关。
比如一个LRC电路，R的电压可以测量，想把它作为输出，输入当然就是电源电压u。至于状态变量，我们都知道，该电路的状态与电源电压u，电容电压初值uc，电感电流初值il有关，那便把uc,iL作为状态变量，这些东西已经足够描述这个电路了。至于电感电压，电容电流这些东西就不重要了。
系统由状态变量描述。状态变量由输入以及状态变量自己的初值决定。输出可以根据需求随便选。
线性非线性时变时不变
方程能写成下面这样就是线性系统：当然下面这些A,B,C,D矩阵都是可以随时间变化的。
假设有两个状态变量，拿一个状态变量来举例子，比如x1，当系统线性时，x1的微分可以拿x1,x2，u1,u2的线性组合来表示，而不是x12,ex1x^2_1, e^{x_1}x12,ex1,这种怪东西的组合来表示。
线性时不变就是上面的A,B,C,D不随时间变化。
非线性时变系统：
系统的能控能观
能控：输入量能控状态变量
能观：通过看输出量可以知道状态变量
由此可见，系统的核心是状态变量。
状态方程的解
要求解这个：
无输入线性时不变
转移矩阵
无输入线性时不变的状态方程为：
如果只有一个状态变量，便很容易求解：
eate^{at}eat泰勒展开：
把里面的a改成矩阵A，并假设改之后的展开式为eAte^{At}eAt
把右边的展开式乘以x(0)后代入原状态方程中，发现是符合的，那就说明所谓的“eAtx(0)e^{At}x(0)eAtx(0)”就是状态方程的解。
用一个转移矩阵和状态变量初值来表示状态方程的解：尤其注意所谓的eAte^{At}eAt是个临时定义的东西。
而且：
Φ(t)=eAt\Phi (t)=e^{At}Φ(t)=eAt
拉普拉斯求转移矩阵
上面的eAte^{At}eAt是个一长串的东西，根本写不出来，要求转移矩阵的话要还是得用拉普拉斯表示。
求出来转移矩阵的拉普拉斯形式后，再反变换即可。
有输入线性时不变
首先直接拉式变换：
反变换：
第一项就是转移矩阵，齐次解；第二项是转移矩阵的拉普拉斯变换与输入量拉普拉斯相乘，在时域上就是卷积，特解。
求解的时候，首先应该知道转移矩阵的时域形式（用上一节的方法），然后按照上面的式子卷积。
输出方程的解：
第一项是零输入响应，后面两个是零状态响应。
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