BAW美式期权定价半解析解

参考文献：G. Barone-Adesi & R. E. Whaley, Efficient Analytic Approximation of American Option Values, The Journal of Finance, No 2 (June 1987), 301-320

基本思想：美式期权不同于欧式期权之处在于，美式期权可以在到期日之前随时执行，因而美式期权的价值高于欧式期权。美式期权价值高于欧式期权的部分叫做美式期权溢价ϵc\epsilon_cϵc，如下式所示：
ϵc(S,T)=C(S,T)−c(S,T),\epsilon_c\left( S , T \right) = C \left( S , T \right) -c \left( S , T \right) , ϵc(S,T)=C(S,T)−c(S,T),
其中C(S,T)C \left( S , T \right)C(S,T)表示美式看涨期权的价值；c(S,T)c \left( S , T \right)c(S,T)表示欧式看涨期权的价值。

根据Feynman_Kac定理，在无套利假设条件下，欧式期权价值和美式期权价值满足椭圆的偏微分方程，因而，风险溢价也应该满足以下的相同形式的椭圆偏微分方程：
1/2σ2S2εSS−rε+bSεS+εt=0(1)1 / 2 \sigma^{2} S^{2} \varepsilon_{S S}-r \varepsilon+b S \varepsilon_{S}+\varepsilon_{t}=0\tag{1} 1/2σ2S2εSS−rε+bSεS+εt=0(1)
做如下的变量替换：

τ=T−t\tau = T -tτ=T−t 代表距离到期日T的时间；

M=2r/σ2和 N=2b/σ2M=2 r / \sigma^{2} \text { 和 } N=2 b / \sigma^{2}M=2r/σ2 和 N=2b/σ2

则式（1）可以重写为
S2εSS−Me+NSeS−(M/r)ετ=0(2)S^{2} \varepsilon_{S S}-M_{e}+N S e_{S}-(M / r)\varepsilon_{\tau}=0\tag{2} S2εSS−Me+NSeS−(M/r)ετ=0(2)
定义美式期权的提前行权溢价满足如下的形式：
ϵc(S,K)=K(τ)f(S,K)\epsilon_c(S, K)=K(\tau) f(S, K) ϵc(S,K)=K(τ)f(S,K)
其中K(T)=1−e−rτ,K \left( T \right) = 1 - e ^ { - r \tau} ,K(T)=1−e−rτ, 则(2)式可以重写为
S2fss+NSfs−(M/K)f−(1−K)MfK=0(3)S^{2} f s s+N S f_{s}-(M / K) f-(1-K) M f_{K}=0\tag{3} S2fss+NSfs−(M/K)f−(1−K)MfK=0(3)
敲黑板！！！BAW方法为何是半解析解，就在于我们要对式（3）进行简化，把最后一项省略掉，式（3）就可以变成一个二次常微分方程。那么最后一项为何可以省略掉呢？当商品期权距离到期日时间非常短（T=0）的时候，fKf_{K}fK接近于0，即执行价格对风险溢价几乎没影响。当商品期权距离到期日的时间非常长（τ=∞\tau=\infinτ=∞）的时候，K=1则1-K=0。因而，fff可以通过近似求解以下的表达式得到：
S2fss+NSfs−(M/K)f=0S^{2} f s s+N S f_{s}-(M / K) f=0 S2fss+NSfs−(M/K)f=0
假设f=aSqf=a S^{q}f=aSq，代入上式，可以得到两个特征根(M/K为正)：
q1=−(N−1)−(N−1)2+4M/K2<0q _ {1} = - \left( N - 1 \right) - \frac{\sqrt { \left( N - 1 \right) ^ { 2 } + 4 M / K }}{2}<0 q1=−(N−1)−2(N−1)2+4M/K<0

q2=−(N−1)+(N−1)2+4M/K2>0q _ {2} = - \left( N - 1 \right) + \frac{\sqrt { \left( N - 1 \right) ^ { 2 } + 4 M / K }}{2}>0 q2=−(N−1)+2(N−1)2+4M/K>0

则有通解：
f(S)=a1Sq1+a2Sq2,f \left( S \right) = a _ { 1 } S ^{ q _ { 1 } } + a _ { 2 } S ^{ q_2 } , f(S)=a1Sq1+a2Sq2,
现在的问题是如何确定参数a1a_1a1和a2a_2a2。这个问题要追溯到美式看涨期权的边值条件
∂C∂S(S∗,τ)=1(B1)\frac{\partial C}{\partial S}(S^*,\tau)=1\tag{B1} ∂S∂C(S∗,τ)=1(B1)

C(0,τ)=0(B2)C(0,\tau)=0\tag{B2} C(0,τ)=0(B2)

C(S∗,τ)=S∗−K(B3)C(S^*,\tau)=S^*-K\tag{B3} C(S∗,τ)=S∗−K(B3)

由（B2）:C(0,τ)=c(0,τ)+K(τ)f(0)=0C(0,\tau)=c(0,\tau)+K(\tau)f(0)=0C(0,τ)=c(0,τ)+K(τ)f(0)=0, 可以推出 f(0)=0f(0)=0f(0)=0，因而f(S)=a2Sq2(q1<0)f(S)=a _ { 2 } S ^{ q_2 }(q_1<0)f(S)=a2Sq2(q1<0)。

由（B1）：∂C∂S(S∗,τ)=∂c∂S(S∗,τ)+K(τ)∂f∂S\frac{\partial C}{\partial S}(S^*,\tau)=\frac{\partial c}{\partial S}(S^*,\tau)+K(\tau)\frac{\partial f}{\partial S}∂S∂C(S∗,τ)=∂S∂c(S∗,τ)+K(τ)∂S∂f 可以推导出
1=e(b−r)τN[d1(S∗)]+Kq2a2S∗q2−11=e^{(b-r) \tau} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S^{*}\right)\right]+K q_{2} a_{2} S^{* q_{2}-1} 1=e(b−r)τ N[d1(S∗)]+Kq2a2S∗q2−1
这里用到了欧式期权的BS公式：
c(S,T)=Se(b−r)TN(d1)−Xe−rTN(d2)c(S, T)=S e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left(d_{1}\right)-X e^{-r T} \mathrm{~N}\left(d_{2}\right) c(S,T)=Se(b−r)T N(d1)−Xe−rT N(d2)
其中 d1=[ln⁡(S/X)+(b+0.5σ2)T]/σT,d2=d1−σTd_{1}=\left[\ln (S / X)+\left(b+0.5 \sigma^{2}\right) T\right] / \sigma \sqrt{T}, d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{T}d1=[ln(S/X)+(b+0.5σ2)T]/σT,d2=d1−σT。

由此，可以求解出
a2={1−e(b−r)τN[d1(S∗)]}/Kq2S∗q2−1a_{2}=\left\{1-e^{(b-r) \tau} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S^{*}\right)\right]\right\} / K q_{2} S^{* q_{2}-1} a2={1−e(b−r)τ N[d1(S∗)]}/Kq2S∗q2−1
由（B3）可以求解出最优执行边界满足以下的表达式
S∗−X=c(S∗,τ)+{1−e(b−r)τN[d1(S∗)]}S∗/q2S^{*}-X=c\left(S^{*}, \tau\right)+\left\{1-e^{(b-r) \tau} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S^{*}\right)\right]\right\} S^{*} / q_{2} S∗−X=c(S∗,τ)+{1−e(b−r)τ N[d1(S∗)]}S∗/q2
综上所述，美式看涨期权的解析公式如下所示：
C(S,τ)=c(S,τ)+A2(S/S∗)q2,when S<S∗C(S,τ)=S−K,when S≥S∗\begin{array}{ll} C(S, \tau)=c(S, \tau)+A_{2}\left(S / S^{*}\right)^{q_{2}}, & \text { when } S<S^{*} \\ C(S, \tau)=S-K, & \text { when } S \geq S^{*} \end{array} C(S,τ)=c(S,τ)+A2(S/S∗)q2,C(S,τ)=S−K, when S<S∗ when S≥S∗
其中 A2=(S∗/q2){1−e(b−r)TN[d1(S∗)]}A_{2}=\left(S^{*} / q_{2}\right)\left\{1-e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S^{*}\right)\right]\right\}A2=(S∗/q2){1−e(b−r)T N[d1(S∗)]}。

美式看跌期权与看涨期权的求解套路差不多：
ϵp(S,T)=P(S,T)−p(S,T)\epsilon_p\left( S , T \right) = P \left( S , T \right) -p \left( S , T \right) ϵp(S,T)=P(S,T)−p(S,T)
区别在于边界条件不同
∂P∂S(S∗,τ)=−1(B1)\frac{\partial P}{\partial S}(S^*,\tau)=-1\tag{B1} ∂S∂P(S∗,τ)=−1(B1)

P(∞,τ)=0(B2)P(\infin,\tau)=0\tag{B2} P(∞,τ)=0(B2)

P(S∗,τ)=K−S∗(B3)P(S^*,\tau)=K-S^*\tag{B3} P(S∗,τ)=K−S∗(B3)

python程序实现：参考Python implementation of the Barone-Adesi And Whaley model for the valuation of American options and their greeks. · GitHub

调用实例：

from BAW import *
import matplotlib.pyplot as pltStock = []
Put_American = []
Put_European = []
Expir = []
K = 50for S in range(1,151,10):Stock.append(S)Expir.append(max(K-S,0))put_American = getValue('American', 'Value', 'Put', S, K, 5, 0.03, 0.02,0.5)put_European = getValue('European', 'Value', 'Put', S, K, 5, 0.03, 0.02,0.5)Put_American.append(put_American)Put_European.append(put_European)plt.plot(Stock, Put_American,linewidth=0.5,label='American Option Value')
plt.plot(Stock, Put_European,'r-.',linewidth=0.5,label='European Option Value')
plt.plot(Stock, Expir, 'g--',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.show()

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