二维对流扩散方程差分 matlab,扩散方程的高精度加权差分格式

引言扩散方程是一类描述物理量的扩散和衰减规律的热传导型方程自然环境、工程设备乃至生物机体中的许多物理现象，诸如地下水流、充分发展的通道流动等均归咎为扩散问题，因此研究扩散方程的数值求解方法具有非常重要的理论和工程应用价值扩散方程最常用的数值方法之一是有限差分方法，其中最具代表性的当属二层三结点的加权差分格式，，该格式在空间上的精度只能达到二阶作为提高数值模拟可靠性保证的有效途径之一就是在保持原有差分格式结构(比如二层三结点)不变的前提下，改善数值方法的精度本文基于作者在构造二维泊松方程高精度差分格式时所发展的一种四阶精度三次样条公式，提出了一种求解含源汇项扩散方程的二层三结点且在空间方向达到四阶精度的新加权差分格式，并通过数值算例进行了检验差分格式的建立一维含源汇扩散方程为(，)()其中(，)为待求未知量，(，)是源汇项不失一般性，文中假定扩散系数为常数值求解方程()的传统加权差分格式为()()()()()()式中，表示待求未知(，)在网格点(，)上的近似值，()是加权因子，差分格式()的截断误差为()，，，也就是说其空间方向上最高精度()另外，格式()在时是无条件稳定的，而当时是条件稳定的，即只有()，格式()才稳定本文鉴于传统加权格式在空间方向精度较低的特点，采用二阶微商三次样条四阶逼近公式，导出了求解方程()的一种四阶精度加权格式下面介绍这种加权格式的构造过程根据二阶微商三次样条四阶逼近公式，则有()()()()()其中()表示二阶偏导数在点(，)处的近似值由于方程()在整个求解区域内成立，故在点()，，()等三点上也成立，即()()()()()()()()()将式()、()和式()相加，并考虑到式()，可得()()()()()其中()因为式()在任意时刻均成立，所以可得()()()()()()()()()()将式()和式()分别乘以和()，并相加，得到()()()()()()()()()()()()另一方面，由于()()()()()因此，联立式()和式()，我们有)()()()()()()()式中为时间方向步数，是空间方向结点序号，差分方法()就是扩散方程()的二层三结点加权差分格式，其等价(或修正)方程为()()()由式()易知，当()时，差分方程()具有四阶精度，特别在条件下，只要()，方程()就可达到四阶精度与差分方程()相比其精度在()时高出两阶同样在条件下，且满足()，差分方法()的精度也只能达到()差分格式的稳定性分析为了讨论方便，假定边界和源项计算均是精确的下面采用分析方法讨论差分格式()的稳定性令()式中为虚数单位，而是波数将式()代入式()，可得增长因子为()()()()欲使差分解稳定，则须，即()()()()由于不等式右端部分显然成立，所以只需讨论左端不等式成立的条件即可，此时()()()若，即时，不等式()对一切恒成立；可知格式()是无条件稳定的；若，即时，欲使式()成立，必须()，即()()于是加权差分格式()的稳定性条件可总结为：在时，无限制，即无条件稳定；而当时，()，即条件稳定据上面稳定性分析可知，高精度加权差分格式()和传统加权差分格式()在权因子满足时均为无条件稳定，而在时均为条件稳定，所不同的是差分格式()的稳定性条件较格式()的要严格些算例不失一般性，分别就差分格式()和差分格式()在，且()时，计算了如下两个初边值问题：问题()()，，，(，)，，()(，)(，)，该问题的精确解为(，)()问题，，，(，)，，()(，)，(，)，该问题的精确解为(，)表、表分别列出了利用差分格式()和差分格式()计

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