计算机辅助机械系统运动学和动力学

文章目录

计算机辅助机械系统运动学和动力学
引言
一、系统动力学的DAE与ODE
二、计算机运动学和动力学的现代焦点
本专栏知识结构

引言

本文为系列专栏文章，主要介绍微分几何的现代方法：1、获得机械系统动力学的运动常微分方程(ODE)，2、构造求解常微分方程的数值算法，3、以Matlab计算机代码的形式实现方程的构造和数值解。

一、系统动力学的DAE与ODE

虽然机械系统动力学的微分代数方程(DAE)很容易推导出来，但所得到的的方程却非常难以求解。Petzold于1982发表了一篇题为“DAE并不是ODE”的里程碑意义的论文，指出了求解多体动力学3阶DAE的困难。然而，半个世纪来，文献一直关注DAE的数值解法。与DAE方法形成鲜明对比的是，ODE公式推导难，但一旦得到，就可使用已建好的数值积分方法可靠、准确地求解。
基于微分几何的数学理论，提出了机械系统动力学ODE公式解多种多样的理论基础。自从18世纪达朗贝尔和拉格朗日对动力学的里程碑式贡献以来，持续两个半世纪的拉格朗日乘数和相关的动力学DAE是可以避免的。在本专栏的第四章中介绍拉格朗日乘数仅用于表示约束反作用力，并未用于第五章完全整系统、第六章非完整系统和第9章机械手系统动力学ODE。

二、计算机运动学和动力学的现代焦点

本专题介绍平面和空间机械系统的计算机辅助运动学和动力学基础，该方法强调了运动学和动力学控制方程的建立和数值求解的系统方法。创建数值算法并在MATLAB计算机代码中实现，可靠地模拟了机械系统运动学和动力学。
专栏重点是模拟不同应用领域的机械系统，对机械系统建模并在MATLAB计算机代码中求解运动学和动力学方程，分析读者感兴趣的机械系统的仿真。除了提供具体实例的代码外，还给出了平面和空间机械系统运动学和动力学的通用代码。
基于力学定律、数学和数值分析方法，为机械系统运动学和动力学的计算处理提供基础。

本专栏知识结构

第一章介绍了机械系统动力学的基本元素，并通过实例认识将遇到的挑战和机遇。强调了机械系统性能的非线性特征，为后续的发展奠定了基础。
正文从第二章开始，介绍物体在空间运动时位置和方向的表示。作为研究机械系统运动学和动力学的基础，总结了向量分析、矩阵代数、多变量微积分和微分几何等理论。
第三章中给出了物体间的运动关节库，包括相关速度和加速度方程。介绍了在时间上分析运动学的方法，并结合实例分析了在设计不当或建模不良的机构中可能出现的奇异点。通过MATLAB计算机代码分析了平面和空间系统的运动学。
第四章给出了刚体和多体系统运动方程的变分公式。基于牛顿粒子动力学三定律和达朗贝尔的刚体约束系统变分原理，推导了粒子、平面刚体和空间刚体的运动方程。给出了一阶和二阶ODE的龙格-库塔数值积分方法，并以ATLAB代码形式实现，分析了本章所处理实例的微分方程的数值解。使用拉格朗日乘数表示了物体间关节的约束反力，计算了动态模拟结果。
第五章使用约束切线空间微分几何公式，介绍了完全约束系统的多体动力学ODE公式，给出了相对于设计参数运动方程解的存在条件、唯一性和可微性。提出了具有误差控制的显示和隐式ODE数值积分方法，测试方法的示例为试验和分析提供了基础。使用切线空间公式导出代数等价于ODE的0阶DAE公式，并使用显示和隐式数值积分算法实现。用MATLAB代码模拟平面和空间多体系统动力学，适用于中度复杂的应用，如果用于高度非线性运动方程的临时推导和编程处理较为困难的。
虽然不完全约束系统在动力学中不常见，第六章同样对其激励进行了分析。第五章的切线空间ODE公式被扩展为更广泛的公式和数值求解方法。同样，提供MATLAB代码实现实例的研究。
第七章提出了完全约束多体动力学DAE基本理论，其基于解的存在性和唯一性以及解对第五章总提出的模型参数的依懒性。提出用于模拟平面和空间系统的通用MATLAB代码，并实现了求DAE近似解的方法。通过实例将DAE求解方法与第五章中接受的ODE方法性能进行了比较。
第八章介绍了多体系统的摩擦效应，考虑到关节中的接触几何形状，将确定约束接触力作为0阶DAE拉格朗日乘数函数，提出运动学公式。为建立多体动力学与摩擦力真实模型，引入摩擦力的连续模型，而不是物理上不连续库伦摩擦模型。研究了导致静态摩擦锁定和粘滞的情况，提出基于0阶DAE公式和隐式数值求解器的数值求解方法，并证明其能够产生实际问题解决方案，包括平面和空间机械系统中的摩擦和粘滞效应。提供了MATLAB代码用于对具有摩擦力的平面和空间机械系统进行动态仿真。
第九章介绍了输入坐标、机理广义坐标和输出坐标的机械手运动学公式。提出了确保操纵控制中所需的前向运动学映射的局部存在和位移性标准，以及机械手编程中所需的逆运动学映射。结果表明，这些映射为机械手配置空间定义了可微流行结构。第三章的微分几何表明，规则的机械手配置空间有最大、不相交、路径连接、无奇点的功能域组成，在这些功能域上，可编程和控制操纵器。这些统一避免奇点的域和扩展被构造和映射于平面、空间示例。最后，操纵器动力学ODE被嵌入到奇点自由功能域中，而不需临时推导。

这一系列文章为后续大规模动态系统仿真奠定基础，本人会持续更新，并附上系统MATLAB仿真的程序代码