作者：kervin

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在科学研究的统计分析中，我们往往会遇到多重比较校正问题。多重比较校正的方法很多，如Bonferroni、False Discovery Rate(FDR)、Random-field Theory (RFT)等等，各种校正方法各有优劣，具体应用时要根据自己的统计分析的数据特点进行选择。本文，笔者对Bonferroni和False Discovery Rate(FDR)两种校正方法进行论述，特别是对于应用比较广的FDR校正方法，笔者用具体的例子详细阐述了其原理，并给出其Matlab程序。

为什么要进行多重比较校正

当在同一个数据集上进行多次统计检验时，就需要进行多重比较校正。举个简单的例子，A、B两组被试，我们从每个被试身上得出10个指标。如果我们要研究A、B两组被试的某一个指标是否存在显着差异，那么此时我们只做一次统计分析就行；假设这个指标的p值小于0.05，我们会认为这个指标在A、B两组之间存在显着差异，此时，我们犯错的概率(或者称为假阳性率)是5%。假设我们把这10个指标都进行了统计分析，即使每个独立的指标的p值都小于0.05，此时我们犯错的概率不再是5%，而是1－(0.95)^10=0.4013，也就是说此时我们犯错的概率达到40%多，这在统计学上是不可接受的。因此，需要进行多重比较校正。

Bonferroni 校正方法

Bonferroni校正方法非常简单，若单次显着性水平为0.05，那么Bonferroni 校正后的p值应该为0.05/n，其中n为统计比较的次数。Bonferroni 校正方法应该属于最严格的一种校正方法，当统计比较的次数比较多时，Bonferroni 校正后的p值会非常小，此时不推荐使用这种校正方法。当统计比较的次数较小时，如小于几十个时，可以尝试使用。

FDR 校正方法

这里，笔者主要对FDR校正方法的原理进行论述。FDR校正方法是Benjamini和Hochberg于1995年提出了一种多重比较校正的方法。其实，FDR具体的算法也有多种，如Storey法(由Storey等人提出)、Benjamini-Hochberg法(简称BH法)等。其中BH法目前应用最广，这里主要介绍这种方法的基本原理。

基于BH法的FDR校正过程：

第一步：将我们单独统计得到的一系列的p=[p1,p2,…,pn]从大到小进行重新排序，计为P=[P1,P2,…,Pn]；

第二步：按照以下公式计算每个P值所对应的校正前的FDR值，这里称之为Q值：Q = Pi* (n/r)，Pi表示P中元素值，n是P值个数，r依次为n，n-1,…,1。

第三步：对Q进行校正，得到FDR值。对于计算出来的Q=[Q1,Q2,…,Qn]，若某一个Qi值大于前一位Qi-1值，则把Qi的值赋值为Qi-1；反之则保留相应的Q值。最终得到Q值称之为校正后的FDR值。

第四步：按照重排序之前的顺序返回各个p值对应的校正后的FDR值。

例子：假设p=[0.01, 0.005, 0.03, 0.03, 0.02, 0.04, 0.05]，计算相应的校正后的FDR值。

笔者按照上述步骤，自行编制相应的Matlab程序，计算过程和结果如下：

按照上述第一步步骤，计算得到P=[0.0500, 0.0400, 0.0300, 0.0300, 0.0200, 0.0100, 0.0050];

按照第二步中的方法，计算得到Q=[0.0500, 0.0467, 0.0420, 0.0525, 0.0467, 0.0350, 0.0350]；

按照第三步:得到校正后的FDR值为：FDR=[ 0.0500, 0.0467, 0.0420, 0.0420, 0.0420, 0.0350, 0.0350]；

最后，转换成原来的顺序：FDR=[0.0350, 0.0350, 0.0420, 0.0420, 0.0420, 0.0467, 0.0500].

对于本例来说，如果总体的显着性水平设置为0.05，那么从得到的最后的FDR值来说，这几个p值都具有显着性差异。

总结

本文，笔者对为什么要进行多重比较校正做了简单介绍，并重点论述了FDR多重比较校正方法。关于本文中FDR校正对应的Matlab程序，如有朋友需要，请先转发本文到您的朋友圈，然后截图发给我(微信号：kervin_zhao)，我会把相应代码发给您(原创不易，请大家理解)。对于多重比较校正遇到的问题，也可以加笔者进行交流。如果各位朋友觉得本文对您有帮助，也烦请各位积极转发本文到您的朋友圈，并点击文末右下方的“在看”。

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