【cov-19】新冠肺炎的SIR模型补充与应用

【cov-19】SIR模型应用

上一篇文章中我们讲了SIR的基本概念，不熟悉的朋友可以看这篇：
https://blog.csdn.net/weixin_45265581/article/details/105837033
本文将主要讨论基于SIR模型我们能得出的一些结论。关键词：SIR模型，有多少人会被感染？，新冠肺炎疫苗，群体免疫。

*注：本文所论述的是北美弱监管制度的病毒传播情况，其实只要大家做好自我保护自我隔离，疫情很快就会被打败。

一、模型结论
1.是否所有人都会被感染？
对于大流感，人们最关心的问题之一就是最终疫情的规模。
1.1公式推导（直接跳到1.2看结果）
观察SIR模型的微分不等式，不难看出，我们可以通过S与I的微分方程式得出最大I（Imax）。
重温一下SIR Model的微分方程：
{dSdt=−βSIN(1)dIdt=βSIN−γI(2)dIdt=γI(3)\left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-\frac{\beta SI}{N} & \text{(1)}\\ \frac{dI}{dt}= \frac{\beta SI}{N}-\gamma I & \text{(2)}\\ \frac{dI}{dt}=\gamma I& \text{(3)} \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧dtdS=−NβSIdtdI=NβSI−γIdtdI=γI(1)(2)(3)
我们知道当微分方程等于0时，我们可以得到他的最大值，所以我们设I的微分方程为0，并对S求解，得到当I=0时：
S=NγβS=\frac{N \gamma}{\beta} S=βNγ
为了得到最终的I（Imax），可以用公式（1）除以公式（2），得到：

dSdI=−βSIN⋅(βSIN−γI)−1dSdI=−βSN⋅(βSN−γ)−1(4)\begin{aligned} \frac{dS}{dI}& =\frac{-\beta SI}{N}\cdot (\frac{\beta SI}{N}-\gamma I)^{-1}\\ \frac{dS}{dI}&= \frac{-\beta S}{N}\cdot (\frac{\beta S}{N}-\gamma)^{-1} \text{ (4)}\\ \end{aligned} dIdSdIdS=N−βSI⋅(NβSI−γI)−1=N−βS⋅(NβS−γ)−1 (4)

整理一下LHS与RHS并对其integral得到：
*不用看过程直接看公式（5）

−dI=βSN⋅(βSN−γ)−1dS−∫dI=∫βSN⋅(βSN−γ)−1dSI(0)−I(t)=S(t)−γβNlog⁡∣S(t)∣−S(0)+γβNlog⁡∣S(0)∣I(t)=I(0)−S(t)+γβNlog⁡∣S(t)∣+S(0)−γβNlog⁡∣S(0)∣Imax=0−γβ+γβNlog⁡∣γNβ∣+N−γβNlog⁡∣N∣Imax=−NR0+NR0(log⁡∣NR0∣−log⁡∣N∣)+NImaxN=−1R0−1R0log⁡∣1R0∣+1ImaxN=1−1R0(1+log⁡∣1R0∣)(5)\begin{aligned} -dI&=\frac{\beta S}{N}\cdot (\frac{\beta S}{N}-\gamma)^{-1}dS \\ -\int dI&=\int \frac{\beta S}{N}\cdot (\frac{\beta S}{N}-\gamma)^{-1}dS \\ I(0)-I(t)&= S(t)- \frac{\gamma}{\beta}N\log\left| S(t) \right|-S(0)+ \frac{\gamma}{\beta}N\log\left| S(0) \right| \\ I(t)&=I(0)-S(t)+ \frac{\gamma}{\beta}N\log\left| S(t) \right|+S(0)- \frac{\gamma}{\beta}N\log\left| S(0) \right| \\ I_{max}&=0-\frac{\gamma }{\beta }+\frac{\gamma}{\beta}N\log\left| \frac{\gamma N}{\beta } \right|+N-\frac{\gamma}{\beta}N\log\left| N \right| \\ I_{max}&=-\frac{N}{R_{0}}+\frac{N}{R_{0}}(\log\left| \frac{ N}{R_{0} } \right|-\log\left| N \right|)+N\\ \frac{I_{max}}{N}&=-\frac{1}{R_{0}}-\frac{1}{R_{0}}\log\left| \frac{ 1}{R_{0} } \right|+1\\ \frac{I_{max}}{N}&=1-\frac{1}{R_{0}}(1+\log\left| \frac{ 1}{R_{0} } \right|) {\color{Red}\text{ (5)}} \end{aligned} −dI−∫dII(0)−I(t)I(t)ImaxImaxNImaxNImax=NβS⋅(NβS−γ)−1dS=∫NβS⋅(NβS−γ)−1dS=S(t)−βγNlog∣S(t)∣−S(0)+βγNlog∣S(0)∣=I(0)−S(t)+βγNlog∣S(t)∣+S(0)−βγNlog∣S(0)∣=0−βγ+βγNlog∣∣∣∣βγN∣∣∣∣+N−βγNlog∣N∣=−R0N+R0N(log∣∣∣∣R0N∣∣∣∣−log∣N∣)+N=−R01−R01log∣∣∣∣R01∣∣∣∣+1=1−R01(1+log∣∣∣∣R01∣∣∣∣) (5)
带入S后，在公式的左边我们得到疫情最终的感染人数比例。（公式（5））也就是说，病情最终的规模其实之和R0有关。
1.2验证
用加拿大的数据举例，很多媒体官方给出R0应该在2.2-2.5之间，虽然我不知道他怎么想的，但我们有脑子的人暂且用R0=2~3举例。带入R0到公式（5）：
{ImaxN=1−13(1+log⁡∣13∣)≈65.1%if R0=2ImaxN=1−13(1+log⁡∣13∣)≈82.6%if R0=3\begin{cases} \frac{I_{max}}{N}=1-\frac{1}{3}(1+\log\left| \frac{ 1}{3 } \right|)\approx 65.1\%& \text{if }R_{0}=2 \\ \frac{I_{max}}{N}=1-\frac{1}{3}(1+\log\left| \frac{ 1}{3 } \right|)\approx 82.6\%& \text{if }R_{0}=3 \end{cases} {NImax=1−31(1+log∣∣31∣∣)≈65.1%NImax=1−31(1+log∣∣31∣∣)≈82.6%if R0=2if R0=3
也就是说按照目前的统计数据，在加拿大最终会有65%~82.6%的人被感染，这一结论也与前段时间各大媒体报道的数目吻合。
甚至zg有一些媒体报道，新冠肺炎的R0应该为5.7左右，那么按照SIR模型，最终感染人数约为：0.96%。
2.疫苗与群体免疫问题。
其实疫苗与群体免疫目前都有一个共同的难题，就是新冠病毒是否会变异。根据网上资料，早在今年3月分左右，病毒就已经突变出3种形态（A,B,C）。
纵观历史，人类面对曾劫掠过人类文明无数次的鼠疫，每次也都是靠群体免疫幸存下来。
先复习一下我们上一次讲的SIRS模型，很显然SIRS模型是指痊愈后的患者可能会在一定时间后失去对病毒的免疫力，从而造成二次感染。在这种情况下S数量会持续保持一个较高的位置，从而导致被感染数I持续增长。所以，如果病毒可以持续在几个月内连续突变，该吃吃该喝喝就好了不要再费时间防疫了。我们这里对不存在二次感染或抗体消失的情况进行讨论。
2.1我们需要给多少人打疫苗才能保护人类呢？
这里我们设置一个百分比，p，作为被打疫苗的人群比例。设置R*作为新的R0，要使疫情得到控制，R0需要小于1。（平均每个人单位之间内传染人数小于1）得到不等式：
R∗≤R0(1−p)<1(1−p)<1R0p>1−1R0\begin{aligned} R^{*}\leq R_{0}(1-p)&<1\\ (1-p)&<\frac{1}{R_{0}} \\ p&>1- \frac{1}{R_{0}} \end{aligned} R∗≤R0(1−p)(1−p)p<1<R01>1−R01
同样，根据加拿大媒体报道的R0，得到结果：
{p>1−12=50%if R0=2p>1−13=67%if R0=3p>1−15.7=82.5%if R0=5.7\begin{cases} p&>1- \frac{1}{2}=50\% \quad \text{ if }R_{0}=2 \\ p&>1- \frac{1}{3}=67\% \quad \text{ if }R_{0}= 3 \\ p&>1- \frac{1}{5.7}=82.5\% \quad \text{ if }R_{0}= 5.7 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ppp>1−21=50% if R0=2>1−31=67% if R0=3>1−5.71=82.5% if R0=5.7
最坏的情况是我们需要给82.5%的人注射疫苗才能遏制大流感。
2.2群体免疫问题
群体免疫的原理与疫苗基本类似，疫苗是通过人为的方式在S还是S的时候使其产生抗体直接过度到R（说人话就是人为的使可能感染的人群获得抗体从而减少可能被感染人数。）。而病毒横行的这个过程就是人们在获得群体免疫的过程，**随着越来越多的人生病后获得抗体，数量逐渐趋于2.1中所需要打疫苗的群体的数量后，剩下的人们也就得救了。**也就是说可能要感染50%~82.5%的人群，新冠肺炎才能画上一个句号。这也印证了根据微分方程所得到的结论。（能撑到最后的S都是Survivor）

*注：本文所论述的是北美弱监管制度的病毒传播情况，其实只要大家做好自我保护自我隔离，疫情很快就会被打败。

Reference:

J.H.Jones Stanford University “Models of Infectious Disease”
url:https://web.stanford.edu/~jhj1/teachingdocs/Jones-Epidemics050308.pdf
H.H.Weiss Georgia Tech “The SIR model and the Foundations of Public Health”
url:http://mat.uab.cat/matmat/PDFv2013/v2013n03.pdf

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