【题解】P1971 [NOI2011] 兔兔与蛋蛋游戏
首先可以推出来一个引理：空格不可能在经过几次操作后回到原来的位置。
大概感性证明一下：容易发现这个空格如果想要走成一个环，向上走的次数=向下走的次数，向左走的次数=向右走的次数。那么如果开始是兔兔走的话，最后得是蛋蛋走的。假设开始兔兔从(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)走到了(x1,y1)(x_1,y_1)(x1,y1)，最后蛋蛋从(xn,yn)(x_n,y_n)(xn,yn)走到了(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)。我们不妨只考虑走出来的最短环（即最早走重的一次），那么当兔兔走完之后，col(x0,y0)col(x_0,y_0)col(x0,y0)变为了白色（相当于被兔兔的一个白色挤了过来），这样col(x0,y0)col(x_0,y_0)col(x0,y0)永远都应该是白色，那蛋蛋就永远走不到(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)，这样就矛盾了。
所以就有引理：走的路径肯定是一条类似链的结构。
这意味着什么？每次兔兔或蛋蛋走完了之后，他们走过的格子的颜色我们就不关心了。这样在挪空格的时候，我们就没有必要去考虑我挪完空格后格子颜色的变化。也就是说我这个棋盘的颜色永远不会变，只不过我有一个棋子在一直从某个位置走到白色，再走到黑色，再走到白色…这样其实就转化成了一个经典的问题，大概就是棋盘上有一个卒再走，每次颜色需要交替不同。
这个问题的做法大概就是对棋盘构造一个二分图，所有黑色的点像白色的点连一条无向边。那么就变成了又一个二分图，有起点，两个人沿着边挪棋子，不能回来。问谁有必胜策略。这是个经典问题，在此不再赘述其算法了。是铃酱博客中的例题的弱化版。
注意到这道题其实数据范围挺小的，建图是可以直接建的，提前跑出最大匹配，然后每次枚举删掉一个点每一次跑一个dinic就可以了。
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