【樂理】鋼琴琴鍵的頻率

普通鋼琴88鍵（如圖1示），包含7個完整的八度（octave）。

一個八度12鍵（12 steps），7個白鍵，5個黑鍵。

7個白鍵，用音名表示CDEFGAB，唱名為Do Re Mi Fa Sol La Ti。用度（degree）表示，1234567。

（註：五線譜[17][14]中每個音（sound）用音符（note[12]）表示，note=pitch+duration，pitch音高即頻率，例如一個四拍的Do。音符的名稱即音名，音名用字母表示，音名為CDEFGAB，也有鋼琴家稱CDEFGAB為鋼琴琴鍵的字母名（letter name）[20]。）

5個黑鍵，若用音名表示，沒有專用的音名，使用相鄰的白鍵升或降來表示，C♯, D♯, F♯, G♯, A♯，讀作C sharp或升C，D sharp或升D，以此類推。或者D♭，E♭，G♭，A♭，B♭，讀作D flat或降D，E flat或降E，……。這裡，C♯=D♭， D♯=E♭，……。至於為什麼一個黑鍵要用兩邊的相鄰鍵表示，有兩個名字，到底用哪一個表示，主要是大調音階和小調音階要用不同的音名，下文再討論。與黑鍵相對，白鍵不用寫升或降，被稱為natural notes。

（註：關於度，如果寫兩個八度週期CDEFGABCDEFGABC，那麼用度表示是1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15，讀成1st，2nd，3rd，4th，5th，……，14th，15th。升降符號如果用度表示要寫在左側，例如，b5，#11。中文語境中或有老師將黑鍵稱為升Do，降Mi，等。

由於指法（fingering）將手指按拇食中無小依次標為12345，標有指法的樂譜書中這些數字表示手指。）

每個琴鍵的頻率如圖2示，中央C（C4）是261.63Hz。

八度的定義是：1）後一個八度的某個鍵是前一個八度對應鍵的頻率的2倍，例如C4（261.63Hz）是C3（130.81Hz）的兩倍，A4（440Hz）是A3（220Hz）的兩倍。2）一個八度內部後一個鍵是前一個鍵的頻率比例相等，即12個鍵頻率是等比數列，比值q是2的12次方根（q= $\sqrt[12]{2}$ ，約1.059463[1]）。例如C♯4/C4=277.18/261.63=1.0594。

因為一個八度有12鍵，頻率等比，所以稱為十二平均律（Twelve-tone equal temperament[10]）。

（註：鋼琴琴鍵的頻率也可以微調，例如A4=444Hz[15]。本文只討論A4=440Hz的情況。）

圖1：鋼琴鍵盤88鍵[21]

圖2：鋼琴每個琴鍵的頻率[13]

通常音樂以大調（major）和小調（minor）來定基調[2]，大調表達明快（bright）的情緒（emotions）或情感（affections），小調表達陰鬱（dark）的情緒或情感（示例[18]）。

小調音階有三種[4]： the natural minor scale, the harmonic minor scale, the melodic minor scale（原理和示例[19]）。Furmanczyk老師說[23]Natural minor scale用得最少，Harmonic minor scale用得最多，Melodic minor scale使用頻率居中，但後兩者是在Natural minor scale上為了和弦和旋律的動聽發展起來的，本文重點討論音樂的物理性，只討論自然小調（the natural minor scale=Aeolian mode。為了語言的對稱和簡單，我們可不可以約定——未經特別說明，中文『小調音階』默認為『自然小調音階』，英文Minor chord is natural minor chord by default）。

C大調音階（C major scale）和A小調音階（A natual minor scale）如圖3示：

圖3：C大調音階和A小調音階

C大調音階：C D E F G A B (C)，第8個音C是第一個音C的重複，但頻率為兩倍。如果中央C為主音，可以唱為Do Re Mi Fa Sol La Ti （Do），簡譜 1234567（ $\dot 1$ ）。

同理，A小調音階為：A B C D E F G (A)。如果A3為主音，簡譜6̣ 7̣ 1 2 3 4 5 (6)。

我們來觀察大調和小調的音程模式（interval pattern[7]）。

音程是兩個音的距離，即頻率比。最小的距離是一個半音（= semitone = a half step[8]），就是兩個音是鋼琴上相鄰兩個鍵，頻率比q（q=2的12次方根）。例如C D♭音程是一個半音。全音（=tone=a whole step）是後一個音與前一個音的距離是2個半音，即頻率比是q²，例如C D音程是一個全音。

約定俗成地，音階中的音名盡可能各不同。若遇半音音程，例如C D♭，不能寫成C C♯。

我們可以看出來，C大調音階的音程模式為：全全半全全全半；A小調音階的音程模式為：全半全全半全全。

所有符合“全全半全全全半”音程模式的八度音階稱為大調。所有符合“全半全全半全全”音程模式的八度音階都稱為自然小調。我們要唸佛似的唸熟：大調全全半全全全半，小調全半全全半全全。（其他音程模式所形成的音階說明見附錄。）

八度音階的第一個音，稱“主音”（tonic）。第二個音稱為第2度，……，第七個音稱為第7度，第八個音稱為第8度。這可不可能是“八度音階”（octave，octa-詞根表示是八）的名稱來源？

C大調音階中第六度A（6，la）是A小調音階的主音[6]。我們可以看出來C大調和A小調公用音符集，ABCDEFG，均無升無降，所以A小調稱為C大調對應的小調（relative minor，關係小調）。

下面我們來定義大調和小調對應的五度圈（如圖4所示）。

儘管十二平均律的頻率比q是2的十二次方根，一個大調音階和一個小調音階中有些不同的音的頻率比接近簡單分數[11]。其實音樂史上人們確定音的頻率是從簡單分數比開始的，簡單分數比例的音同時彈或順次彈比較好聽或有情緒性。

列舉如下——

1:1 (unison)。

2:1 (octave)，八度。

5:3 (major sixth)，大6度。大調6度，例如C大調中CDEFGA，A是sixth，故稱6度（有沒有感覺中英文意思的差別？）。6度距離9個semitone，q⁹。計算，A4/C4=440/261.63=1.68，5/3=1.67。所以，這也是大調和對應小調主音的頻率比。（至於為什麼稱為major sixth，A小調ABCDEF，F是sixth，六度距離8個semitone，q⁸，F4/A3=349.23/220=1.59，值不同。所以稱為major sixth，不適用於小調。）

3:2 (perfect fifth)，完全5度。大調5度距離7個semitone，q⁷，例如G4/C4=392/261.63=1.50；小調5度，亦然，例如E5/A4=1.50。大調小調一樣，所以稱perfect吧？

4:3 (perfect fourth)，完全4度。大調4度，距離5個semitone，q⁵，例如F4/C4=1.33；小調4度，亦然，例如D5/A4=587.33/440=1.33。

5:4 (major third)，大3度，距離4個semitone，q⁴，例如E4/C4=1.26。

6:5 (minor third)，小3度，距離3個semitone，q³，例如C5/A4=523.25/440=1.19。

可以看出大調和小調的5度頻率比都是1.50（3/2）。

五度圈中，大調用大寫字母表示，寫在圈外；小調用小寫字母表示，寫在圈內。C寫在12點的位置，其對應小調a寫在圈內對應位置。從圖5看，左起第一鍵標出C大調音階（全全半全全全半），第5度為G，G寫在1點位置；從此鍵起，標出G大調音階G A B C D E F♯ G，第5度為D，D寫在2點位置（F♯ ，1個♯，五線譜之高音譜上第五線為F，標♯，這就是“調號”key signature）；從此鍵標出D大調音階D E F♯ G A B C♯ D，……，最後F大調音階F G A B♭ C D E F （圖中紅色短線7th Octave後接1st Octave），F大調的第5度為C。這一圈，每一點鐘的音程是（全全半全），是q⁷=1.50。

同理，從圖6標出所有小調（全半全全半全全），找出每個小調的第5度，可標出五度圈的內圈小調圈的note。

（註：鋼琴每個琴鍵與五線譜的位置一一對應[21]。例如C4在高音譜下加一線、低音譜上加一線。

B=C♭，所以B大調即C♭大調，兩者在五線譜上的記譜是不同的，但在鋼琴上的演奏是相同的。C♯=D♭，亦然。

平時作曲家說先選擇一個“調”（key），指的是選擇五度圈中的某一個大調或某一個小調或相近的一組[22]。)

Furmanczyk老師給出了手畫五度圈的方法[22]，核心是使用一句口訣：Father Charles Goes Down And Ends Battle。反之：Battle Ends And Down Goes Charles Father（如圖7示）。圖4五度圈看音階所包含的音符並不直觀：例如A major scale哪些音符帶Sharp，F minor scale哪些音符帶Flat，Furmanczyk老師手畫的五度圈卻一目了然（如圖8示），例如A major scale的升音符是對出的G#以及順時針圈前面的部分（F#、C#、G#），F minor scale是F minor對出的降音符Db以及逆時針圈前面的部分（Bb、Eb、Ab、Db）。

圖4：五度圈（circle of fifth）

圖5：大調音階

圖6：自然小調音階

圖7：手畫五度圈

圖8：手畫五度圈步驟

附錄：自然音階（Diatonic scale）

一個音階（scale[7]）是一組鋼琴鍵。有意義的定義是一個八度音階（octave），就是一次佈滿一個八度音的滿足一定音程模式的一組note。

一個八度音階中包括5個全音（whole step，whole scale step），2個半音（half step，half scale step）稱為自然音階[5]。

我們可以看出來大調音階和小調音階是自然音階。

可是鋼琴上任意白鍵開始，連續8個白鍵，例如FGABCDE(F)，音程包含5個全音、2個半音，是自然音階。根據音程模式，一共有7個mode[16]——

C Ionian[ai'əniən] Mode：以C為主音的話，CDEFGAB(C)，即C大調。如果音程模式中音程一個半音記為1，一個全音記為2，那麼，Ionian scale的音程模式是2 2 1 2 2 2 1。以任意鍵開始，可以彈出Ionian scale。

D Dorian['dɔriən] Mode：以D為主音的話，DEFGABC(D)。Dorian scale的音程模式是2 1 2 2 2 1 2。

註：這裡寫D Dorian Mode，而不是標準的Dorian Mode，是為了記下來，以D為tonic的自然音階，推算音程模式。他同。或者這些希臘名字翻譯中文的時候，直接譯為Ionian Mode C起調式/大調式，Dorian Mode D起調式，等。

E Phrygian['fridʒiən] Mode：E為主音，EFGABCD(E)。Phrygian scale的音程模式是1 2 2 2 1 2 2。

F Lydian['lidiən] Mode：F為主音，FGABCDE(F)。Lydian scale的音程模式是2 2 2 1 2 2 1。

G Mixolydian[ˌmiksə'lidiən] Mode：G為主音，GABCDEF(G)。Mixolydian scale的音程模式是2 2 1 2 2 1 2。

A Aeolian[i'əuliən] Mode：A為主音，ABCDEFG(A)，即A自然小調。Aeolian scale的音程模式是2 1 2 2 1 2 2（全半全全半全全）。

B Locrian['ləukriən] Mode：BCDEFGA(B)。Locrian scale的音程模式是1 2 2 1 2 2 2。

附錄：十二音音階（Chromatic scale）

如果把一個八度每個音都列舉出來，黑鍵白鍵12個音，稱為十二音音階（Chromatic scale[9]，又稱半音音階，如圖7示）。

圖7：十二音音階

參考：

[1]Piano key frequencies, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Piano_key_frequencies
[2]Major and minor, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Major_and_minor
[3]Major scale, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Major_scale
[4]Minor scale, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Minor_scale
[5]Diatonic scale, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Diatonic_scale
[6]Degree (music), Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(music)
[7]Scale (music), Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_(music)
[8]Semitone, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Semitone
[9]Chromatic scale, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Chromatic_scale
[10]12 equal temperament, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/12_equal_temperament
[11]Interval (music), Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(music)
[12]Musical note, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Musical_note
[13]Music Theory Basics, digilent, https://learn.digilentinc.com/Documents/400
[14]How to read Sheet Music, How to Read Sheet Music (for Beginners) | Simplifying TheoryHow to Read Sheet Music (for Beginners) | Simplifying Theory
[15]“Tuning - Frequencies for equal-tempered scale, A4 = 444 Hz”, Physics of Music - Notes，https://pages.mtu.edu/~suits/notefreq444.html
[16]Music Modes: How to Enrich Your Songs with Modal Color, https://blog.landr.com/music-modes/
[17]NiceChord (好和弦)，五線譜：一次搞懂所有你該知道的、基本的事情。Dec 23, 2017，https://www.youtube.com/watch?v=qkt5X_4FJBY
[18]NiceChord (好和弦)，搞懂七種調式，以及永遠把它們的名字記起來！May 16, 2015，https://www.youtube.com/watch?v=XdDpSGEdIbo&list=PLmVjZfPp5kiNVtlRBphjzBUIH_Xa15h08&index=3
[19]NiceChord (好和弦)，小調的三種模式：自然／和聲／旋律小音階！，May 9, 2015，https://www.youtube.com/watch?v=L2mY-jyFjUY&list=PLmVjZfPp5kiOBXB0O5366xQC0jyHCM6-B&index=2
[20]Andrew Furmanczyk, How to play piano: Lesson #2, Jul 14, 2008, https://www.youtube.com/watch?v=n7b0i7BeJZg&list=PL253192EED47525A8&index=2
[21]Skillmon, Joseph Wright, Range of a piano: keyboard vs staves / note frequency，https://tex.stackexchange.com/questions/448141/range-of-a-piano-keyboard-vs-staves-note-frequency
[22]Andrew Furmanczyk, #9 Circle of fifths tutorial; How to draw a circle of fifths (circle of keys), Aug-1-2008, https://www.youtube.com/watch?v=9ZYI924KhTc&list=PL253192EED47525A8&index=9
[23]Andrew Furmanczyk, #8 Minor Scales: natural minor, harmonic minor, melodic minor, Jul-29-2008, https://www.youtube.com/watch?v=uMs6DXDpBHk&list=PL253192EED47525A8&index=8