【总结】pick定理Farey序列

pick定理及其证明

pick定理

结论

在一个平面直角坐标系内，以整点为顶点的简单多边形，设其内部整点数为aaa，边上(包括顶点)的整点数为bbb，则它的面积S=a+b2−1S = a+\frac b2-1S=a+2b−1

证明

三角形

对于一个最简单的三角形(只有三个顶点在格点上，边上和内部都没有点的一个三角形)如下图，面积为S=32−1=12S=\frac 32 -1=\frac 12S=23−1=21
所有面积>12>\frac 12>21的三角形均在边上或内部有点
证明：
通过平移及轴对称将三角形的一个顶点移至原点，另外两个点位于xxx轴或第一象限内。
设三角形ΔOAB\Delta OABΔOAB,O(0,0),A(a,c),B(b,d)O(0,0),A(a,c),B(b,d)O(0,0),A(a,c),B(b,d)，其中ca<db\frac ca<\frac dbac<bd，面积S=ad−bc2S=\frac{ad-bc}{2}S=2ad−bc。
- c=0,a>1c=0,a>1c=0,a>1时，OAOAOA边上存在整点，得证
- c=0,a=1,b=1c=0,a=1,b=1c=0,a=1,b=1时，ABABAB边上存在整点，得证
- c=0,a=1,b>1c=0,a=1,b>1c=0,a=1,b>1时，将BBB移至原点并绕原点旋转180°180\degree180°，划归到另两点在第一象限内的情况
- c≠0c\neq 0c̸=0即另两点均在第一象限时，若gcd⁡(a,c)≠1\gcd(a,c)\neq 1gcd(a,c)̸=1或gcd⁡(b,d)≠1\gcd(b,d)\neq 1gcd(b,d)̸=1，则OAOAOA或OBOBOB上存在整点，得证。
  否则取2S=ad−bc2S=ad-bc2S=ad−bc的一个质因数ppp。
  由ad≡bc(modp)ad\equiv bc\pmod pad≡bc(modp)，任意取正整数k<pk<pk<p：
  −adk=−bck(modp)→ka+c≡kb+d(modp)-\frac{ad}{k}=-\frac{bc}{k}\pmod p\to ka+c\equiv kb+d\pmod p−kad=−kbc(modp)→ka+c≡kb+d(modp)
  则必然存在0<k<p0<k<p0<k<p，使得ka+c≡kb+d≡0(modp)ka+c\equiv kb+d\equiv 0\pmod pka+c≡kb+d≡0(modp)
  因为ka+cp=ka+ck+1⋅k+1p,kb+dp=kb+dk+1⋅k+1p\frac{ka+c}{p}=\frac{ka+c}{k+1}·\frac{k+1}{p},\frac{kb+d}{p}=\frac{kb+d}{k+1}·\frac{k+1}{p}pka+c=k+1ka+c⋅pk+1,pkb+d=k+1kb+d⋅pk+1且k+1p∈(0,1]\frac{k+1}{p}\in(0,1]pk+1∈(0,1]，所以整点[ka+cp,kb+dp][\frac{ka+c}{p},\frac{kb+d}{p}][pka+c,pkb+d]在ABABAB某个k+1k+1k+1等分点到原点的连线上，得证。
由上可知所有在边上和内部都没有点的三角形面积一定为12\frac 1221，定理成立。通过第二数学归纳法证明对于其它三角形定理同样成立：
- a+b2−1=12a+\frac b2-1=\frac 12a+2b−1=21成立。
- 假设对a+b2−1<na+\frac b2-1<na+2b−1<n均成立，当a+b2−1=na+\frac b2-1=na+2b−1=n时：
  若三角形内部存在整点，则任选其一与三角形三个顶点连边形成三个新的小三角形，设有kkk个点落在了新连的三条边上：此时三角形总内点数a−ka-ka−k，边上的点数(b−3)+2(k+2)+3=b+2k+4(b-3)+2(k+2)+3=b+2k+4(b−3)+2(k+2)+3=b+2k+4，总面积S=a−k+b2+k+2−3=a+b2−1S=a-k+\frac b2+k+2-3=a+\frac b2-1S=a−k+2b+k+2−3=a+2b−1，得证。
  若三角形内部不存在整点，任意取某个边上的整点与相对的顶点相连分成两个新的小三角形，证明同上。

综上，对于三角形pickpickpick定理成立。

多边形

将简单多边形分成若干三角形：
每次任意取多边形一条对角线连接将其分成两个新的小多边形。
设对角线上共有kkk个整点。分开前贡献为((a−(k−2))+(k−2))+(b−2)+22−1=a+b2−1((a-(k-2))+(k-2))+\frac{(b-2)+2}{2}-1=a+\frac b2-1((a−(k−2))+(k−2))+2(b−2)+2−1=a+2b−1，分开后贡献为(a−(k−2))+b−2+2k2−2=a+b2−1(a-(k-2))+\frac{b-2+2k}{2}-2=a+\frac b2-1(a−(k−2))+2b−2+2k−2=a+2b−1。
以此类推，简单多边形分成若干三角形后分别计算值不变。
得证。

例题

poj2954
直接套公式即可。

Farey序列

Farey序列是指把在000到111之间的所有分母不超过nnn的分数从小到大排列起来所形成的数列。

性质：
前一项的分母乘以后一项的分子，一定比前一项的分子与后一项分母之积大1。

用pickpickpick定理证明：
把分母不超过n的每一个000和111之间的分数都标在平面直角坐标系上(ba\frac baab对应(a,b)(a,b)(a,b))。考虑一根从原点出发的射线从xxx轴正方向逆时针旋转依次扫过的标记点就是Farey序列。
考虑对于相邻扫到的两个标记点和原点构成的三角形，由于是最简分数，所以三角形边上没有整点，且相邻说明三角形内部没有整点，所以三角形面积为12\frac 1221。三角形面积等于叉积的一半，得证。