《化工流体力学》课程笔记（四）

系统的基本方程

质量守恒定律

dMdt=0M=∫dm=∫ρdV\frac{dM}{dt} = 0 \\ M = \int{dm} = \int{\rho dV} dtdM=0M=∫dm=∫ρdV
牛顿第二定律

F⃗=a⃗m=a⃗ρdV\vec{F} = \vec{a} m = \vec{a}\rho dV F=am=aρdV

写成变化率的形式：惯性坐标系中运动的系统，作用于系统上所有的外力等于系统动量随时间的变化率

F⃗=dP⃗dtP⃗=∫V⃗dm=∫V⃗ρdV\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt} \\ \vec{P} = \int\vec{V}dm = \int\vec{V}\rho{dV} F=dtdPP=∫Vdm=∫VρdV
动量矩定理

角动量的变化率等于作用于系统上的所有外力距之和，即，系统所受的合外力矩为零时，其角动量保持不变。

T⃗=dH⃗dtH⃗=∫r⃗×V⃗dm=∫r⃗×V⃗dVT⃗=r⃗×F⃗s+∫r⃗×g⃗dm+T⃗shaft\vec{T} = \frac{d\vec{H}}{dt} \\ \vec{H} = \int\vec{r}\times\vec{V}dm = \int\vec{r}\times\vec{V}dV \\ \vec{T} = \vec{r}\times\vec{F}_s + \int\vec{r}\times\vec{g}dm + \vec{T}_{shaft} T=dtdHH=∫r×Vdm=∫r×VdVT=r×Fs+∫r×gdm+Tshaft
热力学第一定律

δQ+δW=dEQ˙+W˙=dEdtE=∫edm=∫VeρdVe=u+v22+gz\delta{Q} + \delta{W} = dE \\ \dot{Q} + \dot{W} = \frac{dE}{dt} \\ E = \int{edm} = \int_V{e\rho{dV}} \\ e = u + \frac{v^2}{2} + gz δQ+δW=dEQ˙+W˙=dtdEE=∫edm=∫VeρdVe=u+2v2+gz

系统的热力学能包括内能、动能和势能。

系统从环境吸热，传热速率为正值；环境对系统做功时，做功速率为正值。
热力学第二定律

dS≥δQTdSdt≥1TQ˙S=∫sdm=∫VsρdVdS \ge \frac{\delta{Q}}{T} \\ \frac{dS}{dt} \ge \frac{1}{T}\dot{Q} \\ S = \int{sdm} = \int_V{s\rho{dV}} dS≥TδQdtdS≥T1Q˙S=∫sdm=∫VsρdV

系统中熵随时间的变化率大于等于传热速率的变化率除以温度。

输运公式

强度性质：与质量无关
广度性质：与质量相关

系统中任意广度性质，均可转化成一个强度性质对质量的积分。

N=∫ndm=∫nρdVN = \int{ndm} = \int{n\rho{dV}} N=∫ndm=∫nρdV

(dNdt)system=∂∂t∫CVnρdV+∫CSnρV⃗⋅dA⃗\left(\frac{dN}{dt}\right)_{system} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV}n\rho{dV} + \int_{CS}n\rho{\vec{V}\cdot{d\vec{A}}} (dtdN)system=∂t∂∫CVnρdV+∫CSnρV⋅dA

物理意义：系统中任意广度性质总的变化率 = 控制体内对应广度性质随时间的变化率 + 对应广度性质通过控制面的净流率。

质量守恒定律

0=[控制体流出的质量流率]-[控制体流入的质量流率]+[控制体内的质量变化率]

0=[通过控制面净的质量流率]+[控制体内的质量变化率]

0=(dMdt)system=∂∂t∫CVρdV+∫CSρV⃗⋅dA⃗0 = \left(\frac{dM}{dt}\right)_{system} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV}\rho{dV} + \int_{CS}\rho{\vec{V}\cdot{d\vec{A}}} 0=(dtdM)system=∂t∂∫CVρdV+∫CSρV⋅dA

流出控制面的点积 ρV⃗⋅dA⃗\rho{\vec{V}}\cdot{d}{\vec{A}}ρV⋅dA 为正的；流入控制面的点积 ρV⃗⋅dA⃗\rho{\vec{V}}\cdot{d}{\vec{A}}ρV⋅dA 为负的，流动与控制面相切时，点积 ρV⃗⋅dA⃗\rho{\vec{V}}\cdot{d}{\vec{A}}ρV⋅dA 为零。

特例：

不可压缩流动：密度为常数
定常流动：不随时间发生变化

惯性控制体中的动量方程

F⃗=dP⃗dt\vec{F} = \frac{d\vec{P}}{dt} F=dtdP

(dNdt)system=∂∂t∫CVnρdV+∫CSnρV⃗⋅dA⃗\left(\frac{dN}{dt}\right)_{system} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV}n\rho{dV} + \int_{CS}n\rho{\vec{V}\cdot{d\vec{A}}} (dtdN)system=∂t∂∫CVnρdV+∫CSnρV⋅dA

(dP⃗dt)system=∂∂t∫CVV⃗ρdV+∫CSV⃗ρV⃗⋅dA⃗\left(\frac{d\vec{P}}{dt}\right)_{system} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV}\vec{V}\rho{dV} + \int_{CS}\vec{V}\rho{\vec{V}\cdot{d\vec{A}}} (dtdP)system=∂t∂∫CVVρdV+∫CSVρV⋅dA

分量的形式：

F⃗x=F⃗Sx+F⃗Bx=∂∂t∫CVuρdV+∫CSuρV⃗⋅dA⃗F⃗y=F⃗Sy+F⃗By=∂∂t∫CVvρdV+∫CSvρV⃗⋅dA⃗F⃗z=F⃗Sz+F⃗Bz=∂∂t∫CVwρdV+∫CSwρV⃗⋅dA⃗\vec{F}_x = \vec{F}_{S_x} + \vec{F}_{B_x} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV}u\rho{dV} + \int_{CS}u\rho{\vec{V}\cdot{d\vec{A}}} \\ \vec{F}_y = \vec{F}_{S_y} + \vec{F}_{B_y} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV}v\rho{dV} + \int_{CS}v\rho{\vec{V}\cdot{d\vec{A}}} \\ \vec{F}_z = \vec{F}_{S_z} + \vec{F}_{B_z} = \frac{\partial}{\partial{t}}\int_{CV}w\rho{dV} + \int_{CS}w\rho{\vec{V}\cdot{d\vec{A}}} \\ Fx=FSx+FBx=∂t∂∫CVuρdV+∫CSuρV⋅dAFy=FSy+FBy=∂t∂∫CVvρdV+∫CSvρV⋅dAFz=FSz+FBz=∂t∂∫CVwρdV+∫CSwρV⋅dA

需要确定 ρV⃗⋅dA⃗\rho{\vec{V}\cdot{d\vec{A}}}ρV⋅dA 的符号以及速度的符号。

伯努利方程：

pρ+V22+gz=const\frac{p}{\rho} + \frac{V^2}{2} + gz = const ρp+2V2+gz=const

适用条件：

定常流动
不存在摩擦力
沿着流线流动
不可压缩流动

直线加速运动的控制体的动量方程

任意加速运动的控制体的动量方程

伯努利方程的应用

伯努利方程表示理想流体在管道内作稳定流动，无外加能量，在任一截面上单位质量流体所具有的位能、动能、静压能（称为机械能）之和为常数，称为总机械能，各种形式的机械能可互相转换。

各项机械能的单位皆为 J/kgJ/kgJ/kg。

当 (P1−P2)/P2<20%(P_1-P_2)/P_2<20\%(P1−P2)/P2<20%，密度用平均值，不稳定系统的瞬间亦可用。

积分形式的动量矩定理

惯性控制体的热力学第一定律

惯性控制体的热力学第二定律