切比雪夫不等式的证明

详细见：http://makercradle.com/2017/%E5%88%87%E6%AF%94%E9%9B%AA%E5%A4%AB%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AF%81%E6%98%8E/

已知：X是一个连续的随机变量，

E(X)=μ,D(X)=δ2

E(X)=\mu,D(X)=\delta^2实数

ε>0

\varepsilon>0

求证：

P(∥X−μ∥≥ε)≤δ2ε2

P(\|X-\mu\|\geq\varepsilon)\leq\frac{\delta^2}{\varepsilon^2}

证明：

因为：

δ2=V(X)

\delta^2=V(X)

=∫+∞−∞(t−μ)2fX(t)dt

=\int_{-\infty}^{+\infty}{(t-\mu)^2f_X(t)dt}

≥∫μ−ε−∞(t−μ)2fX(t)dt+∫+∞μ−ε(t−μ)2fX(t)dt

\geq\int_{-\infty}^{\mu-\varepsilon}{(t-\mu)^2f_X(t)dt}+\int_{\mu-\varepsilon}^{+\infty}{(t-\mu)^2f_X(t)dt}

≥∫μ−ε−∞ε2fX(t)dt+∫+∞μ−εε2fX(t)dt

\geq\int_{-\infty}^{\mu-\varepsilon}{\varepsilon^2f_X(t)dt}+\int_{\mu-\varepsilon}^{+\infty}{\varepsilon^2f_X(t)dt}

由于：

t≤μ−ε⇒ε≤∥t−μ∥⇒ε2≤(t−μ)2

t\leq\mu-\varepsilon\Rightarrow\varepsilon\leq\|t-\mu\|\Rightarrow\varepsilon^2\leq(t-\mu)^2

那么有

=ε2∫μ−ε−∞fX(t)dt+∫+∞μ−εfX(t)dt

=\varepsilon^2\int_{-\infty}^{\mu-\varepsilon}{f_X(t)dt}+\int_{\mu-\varepsilon}^{+\infty}{f_X(t)dt}

=ε2P(X≤μ−εorX≥μ+ε)

=\varepsilon^2P(X\leq\mu-\varepsilon or X\geq\mu+\varepsilon)

=ε2P(∥X−μ∥≥ε)

=\varepsilon^2P(\|X-\mu\|\geq\varepsilon)

因此有：

δ2≥ε2P(∥X−μ∥≥ε)

\delta^2\geq\varepsilon^2P(\|X-\mu\|\geq\varepsilon)

证明成立！

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