题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

【示例 1】
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
【示例 2】
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
【提示】
2 <= n <= 58

1、dp做法

对于本题，我们可以先手算出一些规律：
2 = 1 + 1
3 = 1 + 2
4 = 1 + 3 = 2 + 2
5 = 1 + 4 = 2 + 3
6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3
7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4
8 = 1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4
……
对应的最大乘积
2 ---- 1 * 1 = 1
3 ---- 1 * 2 = 2
4 ---- 2 * 2 = 4
5 ---- 2 * 3 = 6
6 ---- 3 * 3 = 9
7 ---- 3 * （4）= 3 * 4 = 12
8 ---- 3 * （5）= 3 * 6 = 18
……
可以发现，因为必须剪成两段及以上，所以2 和 3 的最大乘积是 n - 1.
但是在其他大于3的数里面，遇到需要拆成 2 或者 3 去加的时候，不应该把2拆成1 + 1，把3拆成1 + 2。
比如说 6 ，拆成 3 + 3，就可以得到 3 * 3 = 9 的最大乘积，无须再拆成 6 = 1 + 2 + 1 + 2。

设 n 是绳子长度， f （n）是最大乘积，则 f （n）= f （a）+ f（b），其中 a + b = n。
但是根据常识，我们并不需要将 a 从 1 遍历到 n / 2，只需要去比较当 a = n / 2 和 a = n / 2 - 1时对应的 f （n）即可。

代码如下：

//用时0ms
class Solution {public int cuttingRope(int n) {if (n == 2) return 1;else if (n == 3) return 2;int[] book = new int[n + 3];book[1] = 1;book[2] = 2;book[3] = 3;for (int i = 4; i <= n; ++ i) {int a = i / 2;book[i] = Math.max(book[a] * book[i - a], book[a - 1] * book[i - a + 1]);}return book[n];}
}

2、数学做法：算术几何均值不等式

虽然在leetcode上，上面的dp解法是0ms，但是时间和空间复杂度都是O（n），其实可以用数学在时间和空间都是O（1）复杂度的情况下解决本问题。

这道题实际上就是在问给定一个正整数 n，将其至少拆分成两个正整数，并使得这些正整数的乘积最大。
即 n = n1 + n2 + …… + na 时，求 Max（ n1 * n2 * …… * na）

在高中阶段，我们接触过不等式：

而它其实是算术—几何均值不等式（AM-GM不等式） 在 n = 2 时的一个特例：

当且仅当n1 = n2 = …… = na 时，等号成立。

那么对于本题，也就是说，当绳子被尽可能均分成 a 份时，取到的乘积是最大的。
也就是说，我们可以设分割后绳子的长度 x = n / a，那么最大乘积 f (n) = x ^ a = x ^ (n / x) = (x ^ (1/x)) ^ n。由于n是常数，所以本题就转换成了求 x ^ (1/x) 的最大值。

令 y = x^(1/x) ，取对数 lny = (1/x)lnx
对x求导得到：y′/y = (-1/x²)lnx+1/x² = (1/x²)(1-lnx)
令y′ = y(1/x²)(1-lnx)=0，得1 - lnx = 0，lnx = 1
所以 x = e ≈ 2.7是极大值点，极大值y(e) = e^(1/e) ≈1.444667.

但是因为题目是要求把绳子分成整数段，所以用极大值y（e）^ n 误差比较大，根据 x = e ≈ 2.7，可以判断出最终分成长度为2或者3时，是比较好的。

且y(3)=3 ^ (1/3) ≈ 1.44 > y(2)=2 ^ 1/2 ≈ 1.41，由此可知：能分成length == 3就分成length == 3，凑不到3的部分，如果是2，就直接是2，不用再分下去；如果是1，就拿出一个3和1凑成 2 * 2，这样最终乘积会最大。（另：没办法手算出开方时，可以同时（y（2）) ^ 6 和 (y（3) ) ^ 6同样可以比较出大小）

例如对于 n = 8 ，最多只能拿出2个3，剩下一个2不用再拆了，所以8 = 2 + 3 + 3 时，乘积达到最大值；
对于 n = 9，刚刚好拆成 9 = 3 + 3 + 3，此时达到最大值；
对于 n = 10，拿出 3 个 3后，只剩下 1，因为 1 * 3 < 2 * 2，所以应该拿出一个 3 和 1凑成 2 * 2，即 10 = 3 + 3 + 2 + 2 时乘积达到最大值。

代码如下：

class Solution {public int cuttingRope(int n) {if (n < 4) return n - 1;else {int a = n / 3;int b = n % 3;if (b == 0) return (int)Math.pow(3, a);else if (b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;else return (int)Math.pow(3, a) * 2;}}
}

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