[Python3] 超级码力在线编程大赛初赛第2场题解

P1 三角魔法

描述
小栖必须在一个三角形中才能施展魔法，现在他知道自己的坐标和三个点的坐标，他想知道他能否施展魔法

点在边上也属于三角形内
−109<=x,y<=109-10^{9}<=x, y<=10^{9}−109<=x,y<=109

解：

判断是否共线
判断是否在三角形内

补充知识(好久之前学的，早忘了)：

判断是否共线
对于三个点(x0,y0)(x0, y0)(x0,y0) ，(x1,y1)(x1, y1)(x1,y1) ，(x2,y2)(x2, y2)(x2,y2) ，如果满足(y3−y1)(x2−x1)−(y2−y1)(x3−x1)=0(y 3-y 1)(x 2-x 1)-(y 2-y 1)(x 3-x 1)=0(y3−y1)(x2−x1)−(y2−y1)(x3−x1)=0，那么这三点共线。
判断是否在三角形内：
判断PPP是否在A，B,CA，B, CA，B,C组成的三角形内。如果在三角形内，则：
AP=u×(AB)+v×ACA P=u \times(A B)+v\times A CAP=u×(AB)+v×AC
满足0≤u,v≤10 \leq u,v \leq 10≤u,v≤1，且u+v≤1u+v\leq 1u+v≤1。

v=x2y0−y2x0x1y0−y1x0v=\frac{x_{2} y_{0}-y_{2} x_{0}}{x_{1} y_{0}-y_{1} x_{0}}v=x1y0−y1x0x2y0−y2x0
u=x2y1−y2x1x0y1−y0x1u=\frac{x_{2} y_{1}-y_{2} x_{1}}{x_{0} y_{1}-y_{0} x_{1}}u=x0y1−y0x1x2y1−y2x1
其中, AP=(x2,y2)AP=(x2, y2)AP=(x2,y2), AB=(x0,y0)AB=(x0,y0)AB=(x0,y0), AC=(x1,y1)AC=(x1,y1)AC=(x1,y1)

class Solution:"""@param triangle: Coordinates of three points@param point: Xiaoqi's coordinates@return: Judge whether you can cast magic"""def castMagic(self, triangle, point):# write your code herereturn "Yes" if self.solve(triangle, point) else "No"def solve(self, triangle, point):A, B, C = triangleP = pointif self.isline(A, B, C): return Falsedef vec(P, X):p0, p1 = Px0, x1 = Xreturn [p0 - x0, p1 - x1]AP, AB, AC = vec(A, P), vec(A, B), vec(A, C)x0, y0 = ABx1, y1 = ACx2, y2 = APdiv = x1 * y0 - y1 * x0u = (x2 * y0 - y2 * x0) / divv = -(x2 * y1 - y2 * x1) / divreturn 0 <= u <= 1 and 0 <= v <= 1 and u + v <= 1def isline(self, A, B, C):x1, y1 = Ax2, y2 = Bx3, y3 = Creturn (y3 - y1) * (x2 - x1) == (y2 - y1) * (x3 - x1)

P2 区间异或

描述
有一个数组num，现在定义区间对的和等于：左区间的最大值加右区间的最小值由于小栖特别能突发奇想，他突然想知道多个区间对和的异或和是多少

4<=len⁡(4<=\operatorname{len}(4<=len(num)<=50000)<=50000)<=50000
0<=num⁡[i]<=100000000<=\operatorname{num}[i]<=100000000<=num[i]<=10000000
1<=len⁡(1<=\operatorname{len}(1<=len(ask)<=100000)<=100000)<=100000
len⁡(ask[0])=4,s\operatorname{len}(a s k[0])=4, slen(ask[0])=4,s,分别表示 l1,r1,l2,r2
num中视作下标从1开始，而不是0
左右区间可能重合

解：

ST表贴一下秒过舒服

from math import log
class ST:def __init__(self, arr):n = len(arr)K = int(log(n, 2))self.Ma = [[0]*(K+1) for _ in range(n)]self.Mi = [[0]*(K+1) for _ in range(n)]for k in range(K+1):for i in range(n):if k == 0:self.Ma[i][k] = arr[i]self.Mi[i][k] = arr[i]else:if i + (1 << (k - 1)) >= n:continueself.Ma[i][k] = max(self.Ma[i][k-1], self.Ma[i+(1 << (k-1))][k-1])self.Mi[i][k] = min(self.Mi[i][k-1], self.Mi[i+(1 << (k-1))][k-1])def query_max(self, L, R):k = int(log(R - L + 1, 2))return max(self.Ma[L][k], self.Ma[R - (1 << k) + 1][k])def query_min(self, L, R):k = int(log(R - L + 1, 2))return min(self.Mi[L][k], self.Mi[R - (1 << k) + 1][k])class Solution:"""@param num: array of num@param ask: Interval pairs@return: return the sum of xor"""def Intervalxor(self, num, ask):# write your code hereret = 0st = ST(num)for L0, R0, L1, R1 in ask:ret ^= st.query_min(L1 - 1, R1 - 1) + st.query_max(L0 - 1, R0 - 1)return ret

P3 五字回文

描述
小栖最近很喜欢回文串，由于小栖的幸运数字是5，他想知道形似“abcba"的回文串在他给定的字符串中的数量

s. length <=106<=10^{6}<=106
字符串s只包含小写字母

解：

打卡

class Solution:"""@param s: The given string@return: return the number of Five-character palindrome"""def Fivecharacterpalindrome(self, s):# write your code heren = len(s)def f(i):if i + 4 >= n: return 0if s[i] == s[i+4] and s[i+1] == s[i+3] and len(set(s[i:i+5])) == 3:return 1return 0return 0 if not s else sum(f(i) for i in range(n))

P4 小栖的金字塔

描述
小栖有一个金字塔，每一层都有编号.

小栖可以在不同点间移动，假设小栖现在在(x1,y1)(x_1, y_1)(x1,y1),他能够移动到的下一个点满足x2>=x1&&y2>=y1现在小栖呆在(k,k)(k,k)(k,k)处，由于我们不能确定小栖现在在哪儿，所以你需要求出所有点(k,k)(k,k)(k,k)到达(n,n)(n,n)(n,n)的方案数的和。

1<=k<=n<=1071<=k<=n<=10^{7}1<=k<=n<=107
由于方案数很大，请对方案数取模1e9+7

解：

用dp算一下值，写完就知道超时了。看到1,2,6,22,90,394,1806,8558,415861, 2, 6, 22, 90, 394, 1806, 8558, 415861,2,6,22,90,394,1806,8558,41586，网上找了下才知道是施罗德数。
那我们就站在巨人的肩膀上把:)

下图为 n=1,2,3n=1,2,3 时的施罗德路径

施罗德数公式为:
Si=Si−1+∑j=0i−1SjSn−j−1S_{i}=S_{i-1}+\sum_{j=0}^{i-1} S_{j} S_{n-j-1}Si=Si−1+j=0∑i−1SjSn−j−1

这个公式n比较小大概5次幂还行。题目是要7次幂，有另外一个公式：
(i+1)Fi=(6n−3)Fi−1−(i−2)Fi−2(i+1) F_{i}=(6 n-3) F_{i-1}-(i-2) F_{i-2}(i+1)Fi=(6n−3)Fi−1−(i−2)Fi−2
其中， FiF_iFi 满足 2Fi=Si,i⩾12 F_{i}=S_{i}, \quad i \geqslant 12Fi=Si,i⩾1。
到这里，还不能做出来，还要取模，好像用刀了Lucas公式什么的，没咋看，代码抄过来就好了。反正，以后它就是我的模板了。

class Solution:"""@param n: The number of pyramid levels n@param k: Possible coordinates k@return: Find the sum of the number of plans"""def pyramid(self, n, k):#k = [n - x for x in k]n = max(k)A = [1, 1] + [0] * (n - 1)mod = 10 ** 9 + 7def qmi (a, k):ret = 1while k:if k & 1: ret = (ret * a) % modk >>= 1a = (a * a) % modreturn retfor i in range(2, n+1):A[i] = (((6 * i - 3) * A[i - 1] - (i - 2) * A[i - 2]) % mod) * (qmi(i + 1, mod - 2) % mod)A[i] = A[i] % modret = 0for x in k:if x == 0:ret = (ret + A[0]) % modelse:ret = (ret + 2*A[x]) % modreturn ret % mod