数据结构-----最大堆的实现

定义：一棵大根树（小根树）是这样一棵树，其中每一个节点的值都大小（小于）或等于其子节点（如果有子节点的话）的值。

一个大根堆（小根堆）既是大根树（小根树）也是完全二叉树。

大根堆

小根堆

本篇主要实现大根堆的初始化，插入以及删除操作。

在实现这些之前，先来简单介绍一下大根堆类的主要数据成员：

私有成员变量：

heap：一维数组，用于存储堆中的元素；

heapSize：整型变量，用于记录堆中元素个数；

arrayLength：整形变量，用于记录堆最大容量，即最多可以容纳多少个元素；

公有成员函数：

initialize(T* ,int)：初始化最大堆，第一个形参为初始化的数组，第二个形参为元素个数；

remove(int)；删除最大堆中特定元素；

push(const T&)；添加新元素；

私有成员函数：

changeArrayLength(T*, int)：当实际容量等于额定容量时，扩充额定容量；

adjust(T&,int, int)：用于调整堆结构的函数，插入删除和初始化都会用到；

堆虽然也是二叉树，但本例中没有使用构建树的方式（即用节点指针）来构建最大堆，而是用数组的方式存储元素，这样我们假设数组[1:heapSize]用来存储堆元素，而对堆中元素进行调整的过程就是改变元素在数组中位置的过程。

另外需要明确的是，1是根节点的下标，heapSize/2是最后一个节点的父节点下标。

对于某一个节点下标n来说，如果2*n<=heapSize，则2*n是该节点左孩子的下标；

如果2*n+1<=heapSize，则2*n+1是该节点右孩子的下标。

首先来看一下初始化操作的实现，传入的参数为一维数组和元素个数。

步骤1：用参数的数组初始化堆中数组heap，用第二个参数初始化堆中元素个数heapSize；

步骤2：从最后一个节点的父节点开始（heapSize/2），一个个循环，每次循环结束节点索引减一。即第一次是heapSize/2，第二次则是heapSize/2-1，第三次是heapSize/2-2，一直循环到1。暂且叫步骤2为外层循环，该循环是逐个向上。每循环完一次都确保以该下标的节点为根节点的子树是一个最大堆。

步骤3：在步骤2中的每一次循环中（内层循环），逐层向下索引，同时比较当前结点和其子节点的大小，将大节点作为子树的根节点，将原先的根节点下移到子树的位置。直到索引到达heapSize。与步骤2不同，步骤3是逐层向下索引，即某一次索引为n，则下一次是2*n。

template<class T>
void maxHeap<T>::initialize(T* theHeap, int theSize)
{delete[] heap; //删除堆中原先的元素heap = theHeap; //指针赋值，将参数中数组的元素赋值给堆heapSize = theSize; //元素个数赋值//执行循环，从最后一个节点的父节点开始，逐个向上，外层循环for(int root = heapSize/2; root >= 1; --root)   {T theElement = heap[root]; //保存外层循环的当前结点，每次都可以理解为给这个值找位置。//内层循环开始，给theElement找位置，将大的上移，大节点原先的位置变成空位置。int currentNode = root; //始终是空位置的下标，也是child下标的父节点位置int child = 2*root;  //当前结点左孩子下标while(child <= heapSize){if(child < heapSize && heap[child+1] > heap[child])++child;    //令child指向值较大的孩子//如果theElement比两个孩子都大，那么就证明找到位置if(theElement > heap[child])break;//如果没有找到，将大的节点放在空位置上，大节点原先的位置变为空位置heap[currentNode] = heap[child];current = child;//更新孩子下标，继续向下寻找位置child *= 2;   }}//找到位置，将theElement放在空位置上heap[currentNode] = theElement;
}

接下来是插入操作，参数是要插入的值theElement，原理同初始化一样，也是为theElement找位置，只是开始的位置不是heapSize/2，而是(++heapSize)/2。此时空位置是heapSize。

步骤1：检查数组容量，如果数组满了，则需要扩充数组大小。

步骤2：堆元素个数加一。

步骤3：比较theElement和当前节点大小，如果theElement大，则把当前结点移动到空位置上，把该节点原先的位置设为空位置。继续向上寻找。

template<class T>
void maxHeap<T>::push(const T& theElement)
{//检测堆是否已满，若满则需要扩充if(heapSize == arrayLength - 1){changeArrayLength(heap, 2*heapSize);heapSize *= 2;}int currentNode = ++heapSize; //堆元素个数加一，空位置为末尾下标//从下到上一层一层比较，把小节点下移，空位置上移。//直到空位置的父节点比theElement大，子节点比theElement小while(currentNode != 1 && heap[currentNode/2] < theElement){heap[currentNode] = heap[currentNode/2];currentNode /= 2;}heap[currentNode] = theElement;
}

最后是删除操作，参数是要删除的下标索引。删除后，以该位置为根节点的子树已经不是最大堆，只需要对这一小部分进行调整。

原理依旧相同，把要删除的那个下标设为空位置。逐层向下寻找位置，把大节点上移，空位值下移。

步骤1：取出末尾下标的元素theElement，并将堆元素个数减一。

步骤2：在以删除节点为根节点的子树中为theElement找位置。

template<class T>
T maxHeap<T>::remove(int index)
{//判断下标是否合法if(index < 1 || index > heapSize)throw heapError("Error: the index is illegal"); T theElement = heap[heapSize--]; //取出最后一个元素，同时元素个数减一int currentNode = index;   //始终指向空位置，也是child的父节点int child = 2 * index; while(child <= heapSize){//令child是较大孩子的下标if(child < heapSize && heap[child+1] > heap[child])child++;//如果theElement大，则说明找到位置存放theElement了if(theElement > heap[child])return;//若没找到，继续向下寻找heap[currentNode] = heap[child];currentNode = child;child *= 2;}heap[currentNode] = theElement;return theElement;
}

另外因为初始化和删除操作中while循环中的部分相同，可以单独抽出来作为一个私有成员函数。

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