属性

属性个体

身高：身高：175cm身高：身高：175cm身高：身高：175cm

基本的属性总包含这两方面信息：

属性标签
属性度量

对于单属性个体而言，属性度量是准确的定位的
x身高=175cmx_{身高} = 175cm x身高=175cm

属性集合

都是单属性，但是有可能对应多个的样本，如果存在175,168,129,137175,168,129,137175,168,129,137等信息，这样进行表示
X身高={175,168,129,137}X_{身高} = \left\{ 175, 168,129,137\right\} X身高={175,168,129,137}

属性描述

一个属性，除了它的标签相同，度量可以是无限的。所有的可能取值，构成了一个属性空间。

利用枚举，我们可能无法全部进行表示，因此，利用数学公式来进行一个空间的衡量条件：
X身高={x∣x≥0andx≤3,x∈R}X_{身高} = \left\{x | x \ge 0 \quad and \quad x \le 3, \quad x \in R\right \} X身高={x∣x≥0andx≤3,x∈R}
不过，还存在一种情况，那就是整个空间的均匀分布：
X偶数={x∣x=2×n,n∈N}X_{偶数} = \left\{ x | x = 2 \times n , \quad n \in N\right\} X偶数={x∣x=2×n,n∈N}
和原来的差异，在于它的描述需要借助另一个更基本的元素进行表述，也就是其中的nnn。

这种情况下，我们称nnn是XXX的元属性，也就是说，我们可以通过元属性对某个属性进行描述。

属性关系

y=f(x)y = f(x) y=f(x)

这样看来，我们所谓的函数，或者说是映射，就是一种元属性到指定属性的转换方式。

首先，这里存在了三个东西

这里，在原来的基础之上，重点的说明了所谓的fff映射，而为了研究这种关系，两个基本属性是必不可少的。

当我们的元属性xxx逐渐变化时，yyy属性会如何的运动。

为了得到我们所需要的那一个yyy集合中的某一个目的样本，该选取如何的xxx，这就是我们研究fff的目的所在。

属性聚合

单独的属性，在单独的属性空间汇总，是不会进行互动的。

研究属性间的关系，是必须让他们产生关联的，把他们作为元属性，综合描绘一个事物，才能看到效果。
y=f(x)y = f(x) y=f(x)
这里，重要的是fff，也就是两者的对应关系，为了能够表述两者的关系，也就要聚合在一起
P={p∣p(x,y)}P= \left\{{p | p(x, y)}\right\} P={p∣p(x,y)}
构造了更高一级的特征，通过研究更高一级的特征的样本个体间的关系，进而描述下一层的元属性关联。

原来的和x和y和x 和 y和x和y都是一维，我们构造点，通过样本间的对比，更细微的感受差异。

我们的方法是：通过构造高维的样本，研究元属性关联

所以，我们的一元函数，画出来其实是一个二元样本。

二元空间，是一个平面；但是画出的图线，就是构造的二元样本的样本空间，是二元空间的子集，也就是fff。

也就是说为了研究y=f(x)y = f(x)y=f(x)，我们通常构造P(x,y)P(x,y)P(x,y)的样本进行描述。

值得注意的是，fff表述的是空间之间的映射，以空间作为的基本元素。

属性升华

前面说了高维的样本以研究低维的属性，把基本属性作为前提，这就是fff的表达方式。

我们再回顾一下

nnn维空间，由无数个nnn维元素构成
nnn维元素包含无数个n−1n-1n−1维元素

所以，就我们所知的多维度的关系分析中，从更高维度看来，其实只是一个高维的元素。

一维关系，只是二维空间的一个一维对象。

二维关系，只是三维空间的一个二维对象。

属性间的关系
y=f(x)y = f(x) y=f(x)
而属性间的限制
0=y−f(x)0 = y - f(x) 0=y−f(x)
它是在二维空间中满足条件限制的单一样本，因为它只是(x,y)(x,y)(x,y)无限组合中的一个子集。

我们把(x,y)(x,y)(x,y)的组合关系记作f(x,y)f(x,y)f(x,y)
0=f(x,y)0 = f(x,y) 0=f(x,y)

(9)(9)(9)就是(10)(10)(10)中的一个子集。

而我们这样进行表示
z=f(x,y)z = f(x,y) z=f(x,y)
(10)(10)(10)就是(12)(12)(12)中的单个样本，是z=0z=0z=0的这么一个三维空间内的一个二维元素。

也就是说，我们讨论的nnn维关系，有如下特点

是一组n+1n+1n+1维的对象集合
是n+1n+1n+1空间内的子集
所在空间是n+2n+2n+2维空间的单个对象

也就是，y=f(x)y=f(x)y=f(x)一维关系，是一组二维对象，是二维平面空间中的子集。

而这个二维空间，又是三维空间内的单个元素。

矩阵表示

单元素枚举

X={−∞⋯+∞}=[−∞⋮+∞]X = \left\{ \begin{matrix} -\infty&\cdots & +\infty\end{matrix} \right\}=\left[\begin{matrix}-\infty\\\vdots\\+\infty\end{matrix}\right] X={−∞⋯+∞}=⎣⎢⎡−∞⋮+∞⎦⎥⎤

这是单个属性内的所有取值

多元素样本

P=[XY]P = \left[ \begin{matrix} X & Y \end{matrix}\right] P=[XY]

元属性枚举

P=[XY]=[−∞−∞⋮⋮+∞+∞]P = \left[ \begin{matrix} X & Y \end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} -\infty & -\infty \\ \vdots & \vdots \\ +\infty & +\infty \end{matrix}\right] P=[XY]=⎣⎢⎡−∞⋮+∞−∞⋮+∞⎦⎥⎤

一个完整的高维度样本，就是多个低维空间的组合样本集合。

横向，是该样本的每一个每一个维度空间。

竖向，正是样本空间的每一个独立样本。

矩阵操作

同维变换

Y=X×WY = X \times W Y=X×W

这是单个维度的变换关系，不过关于WWW，后续还有多种可能。

升维操作

Z=[XY]×[WxWy]=[X⋅Wx+Y⋅Wy]Z = \left[\begin{matrix}X & Y\end{matrix}\right] \times \left[\begin{matrix}W_x \\ W_y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}X\cdot W_x + Y \cdot W_y\end{matrix}\right] Z=[XY]×[WxWy]=[X⋅Wx+Y⋅Wy]

由于低维度的聚合操作，组合成高维度的样本，结果是高维样本的集合。

不过，还存在一种跨维度的表示方法
x=sin(t)y=const(t)z=sin2(x)+con2(y)x = sin(t) \\ y = const(t) \\ z = sin^2(x) + con^2(y) x=sin(t)y=const(t)z=sin2(x)+con2(y)
此时
Z=[T]×[WtxWty]=[XY]Z = [T] \times [ \begin{matrix} W_{tx}&W_{ty}\end{matrix}] = [\begin{matrix}X & Y\end{matrix}] Z=[T]×[WtxWty]=[XY]
通过最基本属性的描述，跨层级的对更高维样本进行描述，具体的形式，只能综合进行判断。

降维打击

我们的0=f(x,y)0 = f(x,y)0=f(x,y)可以这样进行表示
f(X,Y,Z)∣z=0=[XYZ]×[Wx000Wy0000]=[X×WxY×Wy0]=[X×WxY×Wy]\left. f(X,Y,Z)\right|_{z = 0} = [\begin{matrix}X & Y&Z\end{matrix}] \times [\begin{matrix}W_x & 0 &0 \\ 0 & W_y &0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}] = [\begin{matrix}X \times W_x & Y \times W_y & 0\end{matrix}] = [\begin{matrix}X \times W_x & Y \times W_y \end{matrix}] f(X,Y,Z)∣z=0=[XYZ]×[Wx000Wy0000]=[X×WxY×Wy0]=[X×WxY×Wy]
也就是说，我们可以通过制定特殊的WWW，筛选出在集合空间内满足条件的单个样本。

而单个维度被限制以后，就纯粹的变成了低维度的空间集合。

关于变换

叠加操作

两个样本空间的加减法，是对应元素的相关操作，也就是两个样本空间的叠加。
X+Y=[X+Y]X + Y = [X + Y] X+Y=[X+Y]

当其中一个为常量阵的时候，其实就是平移。

缩放操作

当×\times×一个常量阵的时候，对应元素相乘，也就是缩放操作
X×W=[X×W]X \times W = [X \times W] X×W=[X×W]

升维操作

Z=[T]×[WxWy]=[XY]Z = [T] \times [W_x \quad W_y] = [X \quad Y] Z=[T]×[WxWy]=[XY]

当进行扩维的操作，一个低维度的属性，可以得到高维度的样本。

本质上是进行多维度映射，然后多维度空间的聚合。

降维操作

如(19)(19)(19)，当限制单一维度，形成的就是低维度的截面。

实际理解

X

横向：表示该样本中的子空间特征
竖向：样本空间中的样本枚举

W

横向：元素对应空间的变换方法
竖向：元素各基本属性的线性变换权值枚举

Y

同X

小结

回顾一下三层网络，其实每一层都只算作一个中间样本，但是样本特征，也就是样本属性是多维的。

我们的评判操作，其实就是某个维度空间内的一个简单样本，通过该空间内的标准进行直接的评判。

虽然在该空间内，它作为的单样本，也就是一个样本个体，也就是该空间内的一维。

但是在更细微的维度，它是一个多维的集合体。

就像我们判断一个点是否落在了某个区域，标准是非常单一的。如果我们只知道xxx，那将无法进行判断。

而如果我们知道y=f(x)y=f(x)y=f(x)，我们就可以通过最基本的属性进行直接的判断。

也就是说，我们就是根据低维度空间的属性和各空间的转换关系，最终观察特定高维空间的样本运动规律。

正如：有责任感，活泼开朗，有天赋…，这都是不同的维度空间。

所谓的三岁见八十，也就是抓住了此维度空间的运动规律，进而做出的预测行为。

神经网络，就是不停的维度提升，直到目的空间的简单判断标准的变换方法。

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深度学习-维度的理解

属性

属性个体

属性集合

属性描述

属性关系

属性聚合

属性升华

矩阵表示

单元素枚举

多元素样本

元属性枚举

矩阵操作

同维变换

升维操作

降维打击

关于变换

叠加操作

缩放操作

升维操作

降维操作

实际理解

X

W

Y

小结

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