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多项式乘法逆元

给你一个多项式F(x)F(x)F(x)，你要找出一个多项式G(x)G(x)G(x)使得F(x)G(x)=1F(x)G(x) = 1F(x)G(x)=1

逆存在的充要条件是F(x)F(x)F(x)的常数项部不等于000

暴力求

一种很暴力的O(n2)O(n^2)O(n2)做法是这样的：

首先1=g0f01 = g_0 f_01=g0f0，所以g0=f0−1g_0 = f_0^{-1}g0=f0−1；

然后0=g0f1+g1f00 = g_0f_1 + g_1f_00=g0f1+g1f0，所以g1=f0−1(−g0f1)g_1 = f_0^{-1}(-g_0f_1)g1=f0−1(−g0f1)

然后0=g0f2+g1f1+g2f00= g_0f_2 + g_1f_1 + g_2f_00=g0f2+g1f1+g2f0，所以g2=g0−1(−g0f2−g1f1)g_2 = g_0^{-1}(-g_0f_2-g_1f_1)g2=g0−1(−g0f2−g1f1)

快速求

现在普遍使用的是一个迭代算法，假设我已经知道了g0,g1,…,gn−1g_0,g_1,\dots,g_{n-1}g0,g1,…,gn−1

假设已知多项式H(x)H(x)H(x)，h0=g0,h1=g1,…,hn−1=gn−1,hn=0,hn+1=0,hn+2=0,…h_0=g_0,h_1=g_1,\dots,h_{n-1}=g_{n-1},h_n=0,h_{n+1}=0,h_{n+2}=0,\dotsh0=g0,h1=g1,…,hn−1=gn−1,hn=0,hn+1=0,hn+2=0,…

那么显然F(x)H(x)F(x)H(x)F(x)H(x)的前nnn个系数为1,0,0,0,…,01,0,0,0,\dots,01,0,0,0,…,0，但是后面的系数不一定是000

现在我需要继续推出H(x)H(x)H(x)后面的系数

因为H(x)−G(x)H(x)-G(x)H(x)−G(x)的前nnn个系数都是000，所以(H(x)−G(x))2(H(x)-G(x))^2(H(x)−G(x))2的前2n2n2n项系数都是000，所以H2(x)+G2(x)−2H(x)G(x)H^2(x)+G^2(x)-2H(x)G(x)H2(x)+G2(x)−2H(x)G(x)的前2n2n2n项系数都是000

给这个东西乘以F2(x)F^2(x)F2(x)，得到H2(x)F2(x)+G2(x)F2(x)−2H(x)G(x)F2(x)H^2(x)F^2(x)+G^2(x)F^2(x)-2H(x)G(x)F^2(x)H2(x)F2(x)+G2(x)F2(x)−2H(x)G(x)F2(x)的前2n2n2n项系数都为000

而F(x)G(x)=1F(x)G(x)=1F(x)G(x)=1，所以H2(x)F2(x)+1−2H(x)F(x)H^2(x)F^2(x)+1-2H(x)F(x)H2(x)F2(x)+1−2H(x)F(x)的前2n2n2n项系数都为000

即F(x)(2H(x)−F(x)H2(x))−1F(x)(2H(x)-F(x)H^2(x)) - 1F(x)(2H(x)−F(x)H2(x))−1得前2n2n2n项系数都为000，即F(x)(2H(x)−F(x)H2(x))F(x)(2H(x)-F(x)H^2(x))F(x)(2H(x)−F(x)H2(x))得前2n2n2n项系数为1,0,0,0,...,01,0,0,0,...,01,0,0,0,...,0

可以发现，本来H(x)H(x)H(x)只能让F(x)H(x)F(x)H(x)F(x)H(x)的前nnn项系数为1,0,0,…1,0,0,\dots1,0,0,…，但是现在我找到了(2H(x)−F(x)H2(x))(2H(x)-F(x)H^2(x))(2H(x)−F(x)H2(x))，乘以F(x)F(x)F(x)之后可以让前2n2n2n项系数为1,0,0,…1,0,0,\dots1,0,0,…

上述推导用数学语言可以这样描述：

F(x)H(x)≡1(modxn)F(x)H(x)−1≡0(modxn)(F(x)H(x)−1)2≡0(modx2n)F2(x)H2(x)−2F(x)H(x)+1≡0(modx2n)F(x)(2H(x)−F(x)H2(x))≡1(modx2n)F(x)H(x) \equiv 1 (\mod x^n) \\ F(x)H(x)-1 \equiv 0 (\mod x^n) \\ (F(x)H(x)-1)^2 \equiv 0 (\mod x^{2n}) \\ F^2(x)H^2(x) -2F(x)H(x) + 1 \equiv 0 (\mod x^{2n}) \\ F(x)(2H(x)-F(x)H^2(x)) \equiv 1 (\mod x^{2n}) F(x)H(x)≡1(modxn)F(x)H(x)−1≡0(modxn)(F(x)H(x)−1)2≡0(modx2n)F2(x)H2(x)−2F(x)H(x)+1≡0(modx2n)F(x)(2H(x)−F(x)H2(x))≡1(modx2n)

代码

struct Formal_Power_Series_inv
{ll a[maxn], b[maxn], n, A[maxn], B[maxn];void run(){ll i, now, N;b[0]=em.inv(a[0],mod);ntt.init(n), N=ntt.n;for(now=2;now<=N;now<<=1){rep(i,0,now-1)A[i]=a[i], B[i]=b[i];ntt.init(2*now-1);ntt.ntt(A,1), ntt.ntt(B,1);rep(i,0,ntt.n-1)B[i]=B[i]*B[i]%mod*A[i]%mod;ntt.ntt(B,-1);rep(i,0,now-1)b[i]=(2*b[i]-B[i])%mod;}}
}fpsi;

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