CF1680F Lenient Vertex Cover题解

题意

给定一张 nnn 个节点，mmm 条边的无向连通图。求输出一组节点覆盖，使得最多有一条边的两端节点都被选择。

2≤n≤1062\le n\le 10^62≤n≤106
n−1≤m≤min⁡(106,n×(n−1)2)n-1\le m\le\min(10^6,\frac{n\times(n-1)}2)n−1≤m≤min(106,2n×(n−1))

思路

考虑所有边都只有一个端点被选的覆盖。如果存在这样一组覆盖，那么原图一定是二分图。

接下来，考虑有一个边的两个端点都被选的情况。我们发现如果原图不是二分图，那么一定存在奇环。我们希望找到一条边，将这条边两个端点合并后，能使得原图变成二分图，就满足了题目。

所以这条边一定要存在于所有奇环上，且不能存在于任意偶环上（合并后要让奇环消失且不能产生新的奇环）。这样就想到在 dfs 进行二分图染色的同时统计所有的环，对每个边记录它存在的奇环和偶环数量。

统计时需要用到一个树上差分的小技巧。我们知道无向图 dfs 中除了树边就是回边，我们发现只要考虑由若干个树边和一个回边组成的环就可以了，其他的环一定是由这些环的边组成的。只要在发现环时，对回边记一次数，再对树边路径差分统计一下。最后总的 dfs 一次统计子树和，就能统计出每条边的奇环偶环个数。

然后我们就找到一条存在于所有奇环上的边，将其删除就能得到二分图。如果这条边不存在，输出 NO。最后进行一次二分图染色，注意要让被删边的端点染为 1。

实现时有一些细节要注意，例如要处理一下每个点在 dfs 上的父边。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define F first
#define S second
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
using namespace std;
inline int read(){//快读快写int x=0,f=0;char ch=getchar();while(!isdigit(ch))f|=ch=='-',ch=getchar();while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();return f?-x:x;
}
template<typename T>inline void write(T x){if(x<0)x=-x,putchar('-');if(x>9)write(x/10);putchar(x%10^48);
}
int n,m,odd,cnt0[1000005],cnt1[1000005],c[1000005],fe[1000005];//cnt0偶环个数，cnt1奇环个数，c节点颜色，fe父边
bool vis[1000005];
pii e[1000005];
vector<pii> G[1000005];
void dfs(int u,int p,int cl)//二分图染色同时找环
{c[u]=cl;vis[u]=1;fe[u]=p;for(auto pp:G[u])if (pp.S!=p){int to=pp.F,id=pp.S;if (c[to]==-1)dfs(to,id,cl^1);else if (c[to]==cl^1&&vis[to])//偶环cnt0[id]++,cnt0[p]++,cnt0[fe[to]]--;else if (c[to]==cl&&vis[to])//奇环odd++,cnt1[id]++,cnt1[p]++,cnt1[fe[to]]--;}vis[u]=0;//回溯时撤销访问标记
}
void dfs2(int u)//整理差分数组，得到每条边的计数
{vis[u]=1;for(auto pp:G[u])if (!vis[pp.F]){int to=pp.F;dfs2(to);if (fe[u]!=-1&&fe[to]!=-1);cnt0[fe[u]]+=cnt0[fe[to]],cnt1[fe[u]]+=cnt1[fe[to]];}
}
void dfs3(int u,int cl)//二分图染色
{c[u]=cl;for(auto pp:G[u])if (c[pp.F]==-1){int to=pp.F;dfs3(to,cl^1);}
}
void run()
{odd=0;//一系列初始化n=read(),m=read();for(int i=0;i<n;i++)G[i].clear();fill(cnt0,cnt0+m+3,0);fill(cnt1,cnt1+m+3,0);fill(c,c+n+3,-1);fill(vis,vis+n+3,0);for(int i=0;i<m;i++){e[i]=mp(read()-1,read()-1); G[e[i].F].pb(mp(e[i].S,i));G[e[i].S].pb(mp(e[i].F,i));}dfs(0,-1,0);fill(vis,vis+n+3,0);dfs2(0);int x=-1,y=-1;if (odd)//存在奇环{for(int i=0;i<m&&x==-1;i++)if (cnt1[i]==odd&&cnt0[i]==0)x=i;if (x==-1){puts("NO");return;}y=e[x].F,x=e[x].S;sort(G[x].begin(),G[x].end());sort(G[y].begin(),G[y].end());G[y].erase(lower_bound(G[y].begin(),G[y].end(),mp(x,-1)));//删边G[x].erase(lower_bound(G[x].begin(),G[x].end(),mp(y,-1)));}fill(c,c+n+3,-1);dfs3(0,1);int f=(x==-1?0:c[x]^1);//保证被删边的端点颜色为1puts("YES");for(int i=0;i<n;i++)write(c[i]^f);putchar('\n');
}
int main()
{int TT=read();while(TT--)run();return 0;
}

时间复杂度：O⁡(n+m)\operatorname O(n+m)O(n+m)
空间复杂度：O⁡(n+m)\operatorname O(n+m)O(n+m)

我的程序又臭又长（

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