[USACO18DEC]Fine Dining

https://www.luogu.org/problemnew/show/P5122

题意：n个点，含有k个干草堆，问前n-1个点到第n个点的【经过任一干草堆的最短路】减去【不加限制的最短路】是否不超过那个干草堆的美味值。

思路：

①搞Dijkstra的变形，设d[i][0]为i到n的最短路，d[i][1]为i到n的经过干草堆的最短路减去那个干草堆的美味值的大小。松弛操作跟着变形。最后判断每个点是否d[i][1]<=d[i][0]

②加一个虚拟结点n+1，向k个干草堆连边，权值为每个干草堆到n的最短路减去美味值。跑两次Dijkstra即可。最后判断每个点是否d[i]<=d2[i]

无向图，直接从终点n往回跑就行了。

Q：为什么要把美味值加到边权里，不能最后判断每个点是否满足【经过干草堆的最短路】-美味值<=【不加限制的最短路】呢？

A：对于任一点i，如果最后判断，不知道【经过干草堆的最短路】经过的是哪个，也就不知道减的是哪个干草堆的美味值，而且，在Dijkstra处理中，对于这k个干草堆是不能一视同仁的，要综合考虑i经过每个干草堆到n的距离大小以及每个干草堆的美味值。故应该把美味值作为经过那个干草堆的路径的固有属性。

①：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 50000+1000
#define INF 0x3f3f3f3fstruct Edge{int from,to,dist;
};
struct HeapNode{int u,flag,d;bool operator < (const HeapNode& x)const{return d>x.d;}
};
int n,m,k,y[maxn];
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
bool vis[maxn][2];
int d[maxn][2];void init()
{edges.clear();for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();
}void AddEdge(int f,int t,int d)
{edges.push_back((Edge){f,t,d});G[f].push_back(edges.size()-1);
}void dijkstra(int s)
{priority_queue<HeapNode> Q;for(int i=1;i<=n;i++)d[i][0]=d[i][1]=INF;d[s][0]=0;memset(vis,0,sizeof(vis));Q.push((HeapNode){s,0,0});while(!Q.empty()){HeapNode x=Q.top();Q.pop();int u=x.u,flag=x.flag;if(vis[u][flag])continue;vis[u][flag]=1;for(int i=0;i<G[u].size();i++){Edge& e=edges[G[u][i]];int v=e.to;if(!flag){if(d[v][0]>d[u][0]+e.dist){d[v][0]=d[u][0]+e.dist;Q.push((HeapNode){v,0,d[v][0]});}if(y[v]&&d[v][1]>d[u][0]+e.dist-y[v]){d[v][1]=d[u][0]+e.dist-y[v];Q.push((HeapNode){v,1,d[v][1]});}}else{if(d[v][1]>d[u][1]+e.dist){d[v][1]=d[u][1]+e.dist;Q.push((HeapNode){v,1,d[v][1]});}}}}
}int main()
{
//  freopen("input.in","r",stdin);scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);int a,b,c;while(m--){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);AddEdge(a,b,c);AddEdge(b,a,c);}for(int i=1;i<=k;i++){scanf("%d%d",&a,&b);y[a]=b;}dijkstra(n);for(int i=1;i<n;i++)if(d[i][1]<=d[i][0])puts("1"); else puts("0");return 0;
}

②：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 50000+1000
#define INF 0x3f3f3f3fstruct Edge{int from,to,dist;
};
struct HeapNode{int u,d;bool operator < (const HeapNode& x)const{return d>x.d;}
};
int n,m,k,y[maxn];
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
bool vis[maxn];
int d[maxn],d2[maxn];void init()
{edges.clear();for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();
}void AddEdge(int f,int t,int d)
{edges.push_back((Edge){f,t,d});G[f].push_back(edges.size()-1);
}void dijkstra(int s,int *d)
{priority_queue<HeapNode> Q;for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=d[i]=INF;d[s]=0;memset(vis,0,sizeof(vis));Q.push((HeapNode){s,0});while(!Q.empty()){HeapNode x=Q.top();Q.pop();int u=x.u;if(vis[u])continue;vis[u]=1;for(int i=0;i<G[u].size();i++){Edge& e=edges[G[u][i]];int v=e.to;     if(d[v]>d[u]+e.dist){d[v]=d[u]+e.dist;Q.push((HeapNode){v,d[v]});}            }}
}int main()
{
//  freopen("input.in","r",stdin);scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);int a,b,c;while(m--){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);AddEdge(a,b,c);AddEdge(b,a,c);}for(int i=1;i<=k;i++){scanf("%d%d",&a,&b);y[a]=b;}dijkstra(n,d);for(int i=1;i<=n;i++)if(y[i]){AddEdge(n+1,i,d[i]-y[i]);}dijkstra(n+1,d2);for(int i=1;i<n;i++)if(d2[i]<=d[i])puts("1"); else puts("0");return 0;
}

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