核只有单位元等价于映射是单射

线性变换 f：A→Bf：A\to Bf：A→B 是单射（单同态）的充要条件是 Kerf={e}{\rm Ker} f=\{e\}Kerf={e}

必要性显然。

充分性：

若 Kerf={e}{\rm Ker} f=\{e\}Kerf={e}，设 fff 不是单射。

则存在 x1,x2∈Ax_1,x_2\in Ax1,x2∈A, s.t. x1≠x2,f(x1)=f(x2)x_1\neq x_2,f(x_1)=f(x_2)x1=x2,f(x1)=f(x2)

则 f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)=0f(x_1-x_2)=f(x_1)-f(x_2)=0f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)=0

从而 x1−x2≠0x_1-x_2\neq 0x1−x2=0 且 x1−x2∈Kerfx_1-x_2\in{\rm Ker} fx1−x2∈Kerf

2021年12月13日22:54:05 添加了证明

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