【高等数学】第二章 导数与微分——第一节 导数的概念
文章目录
- 1. 引例
- 2. 导数的定义
- 3. 常用导数公式
- 4. 单侧导数
- 5. 导数的几何意义
- 6. 函数可导性与连续性的关系
1. 引例
- 直线运动的速度
位置函数s=f(t)s=f(t)s=f(t)
平均速度v‾=s−s0t−t0=f(t)−f(t0)t−t0\overline{v}=\dfrac{s-s_0}{t-t_0}=\dfrac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}v=t−t0s−s0=t−t0f(t)−f(t0)
瞬时速度v=limt→t0f(t)−f(t0)t−t0v=\lim_{t\rightarrow t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}v=t→t0limt−t0f(t)−f(t0) - 切线问题
割线斜率tanϕ=y−y0x−x0=f(x)−f(x0)x−x0\tan \phi=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}tanϕ=x−x0y−y0=x−x0f(x)−f(x0)
切线斜率k=tanα=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0k=\tan \alpha=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}k=tanα=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
2. 导数的定义
设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0的某个邻域内有定义，当自变量xxx在x0x_0x0处取得增量Δx\Delta xΔx（点x0+Δxx_0+\Delta xx0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)
如果Δy\Delta yΔy与Δx\Delta xΔx之比当Δx→0\Delta x\rightarrow 0Δx→0时的极限存在
那么称函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0处的导数，记为f′(x0)f'(x_0)f′(x0)
即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
也可记作y′∣x=x0,dydx∣x=x0或df(x)dx∣x=x0y'|_{x=x_0},\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}或\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}y′∣x=x0,dxdy∣x=x0或dxdf(x)∣x=x0
函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导有时也说成f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0具有导数或导数存在
- 导数的定义式也可取其他的形式，常见的有f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h(h=Δx)f'(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(h=\Delta x)f′(x0)=h→0limhf(x0+h)−f(x0)(h=Δx)和f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
- 因变量增量与自变量增量之比是因变量yyy在以x0x_0x0和x0+Δxx_0+\Delta xx0+Δx为端点的区间上的平均变化率，而导数f′(x0)f'(x_0)f′(x0)则是因变量yyy在点x0x_0x0处的瞬时变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度
- 如果导数定义式中的极限不存在，就说函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0处不可导，如果不可导的原因是极限值为无穷大，为了方便起见，也往往说函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0处的导数为无穷大
- 导函数
如果函数f(x)f(x)f(x)在开区间III内的每点处都可导
则称函数f(x)f(x)f(x)在开区间III内可导
对于任一x∈Ix\in Ix∈I，都对应着f(x)f(x)f(x)一个确定的导数值，这样就构成了导函数，记作f′(x),dydx或df(x)dxf'(x),\dfrac{dy}{dx}或\dfrac{df(x)}{dx}f′(x),dxdy或dxdf(x)- f′(x0)=f′(x)∣x=x0f'(x_0)=f'(x)|_{x=x_0}f′(x0)=f′(x)∣x=x0
导函数简称导数，而f′(x0)f'(x_0)f′(x0)是f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的导数或导数f′(x)f'(x)f′(x)在x0x_0x0处的值
- f′(x0)=f′(x)∣x=x0f'(x_0)=f'(x)|_{x=x_0}f′(x0)=f′(x)∣x=x0
3. 常用导数公式
- (C)′=0(C)'=0(C)′=0
- (xμ)′=μxμ−1(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}(xμ)′=μxμ−1
- (x)′=(x12)′=12x(\sqrt x)'=(x^{\frac{1}{2}})'=\dfrac{1}{2\sqrt x}(x)′=(x21)′=2x1
- (1x)′=(x−1)′=−1x2(\dfrac{1}{x})'=(x^{-1})'=-\dfrac{1}{x^2}(x1)′=(x−1)′=−x21
- (sinx)′=cosx(\sin x)'=\cos x(sinx)′=cosx
- (cosx)′=−sinx(\cos x)'=-\sin x(cosx)′=−sinx
- (ax)′=axlna(a^x)'=a^x\ln a(ax)′=axlna
- (ex)′=ex(e^x)'=e^x(ex)′=ex
- (logax)′=1xlna(\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}(logax)′=xlna1
- (lnx)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}(lnx)′=x1
4. 单侧导数
导数对应的左、右极限limh→0−f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}h→0−limhf(x0+h)−f(x0)和limh→0+f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}h→0+limhf(x0+h)−f(x0)分别称为函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处的左导数和右导数，记作f−′(x0)f'_-(x_0)f−′(x0)和f+′(x0)f'_+(x_0)f+′(x0)，即f−′(x0)=limh→0−f(x0+h)−f(x0)hf+′(x0)=limh→0+f(x0+h)−f(x0)hf'_-(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ f'_+(x_0)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}f−′(x0)=h→0−limhf(x0+h)−f(x0)f+′(x0)=h→0+limhf(x0+h)−f(x0)
- 函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0处可导的充分必要条件是左导数f−′(x0)f'_-(x_0)f−′(x0)和右导数f+′(x0)f'_+(x_0)f+′(x0)都存在且相等
- 左导数和右导数统称单侧导数
- 如果函数f(x)f(x)f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，且f−′(x0)f'_-(x_0)f−′(x0)和f+′(x0)f'_+(x_0)f+′(x0)都存在，那么就说f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上可导
5. 导数的几何意义
函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0处的导数f′(x0)f'(x_0)f′(x0)在几何上表示曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0,f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)=tanαf'(x_0)=\tan \alphaf′(x0)=tanα其中α\alphaα是切线的倾角
- f(x)f(x)f(x)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处的切线方程为y−y0=f′(x0)(x−x0)y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)y−y0=f′(x0)(x−x0)
- f(x)f(x)f(x)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处的法线方程为y−y0=−1f′(x0)(x−x0)(f′(x0)≠0)y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)(f'(x_0)\ne 0)y−y0=−f′(x0)1(x−x0)(f′(x0)=0)
6. 函数可导性与连续性的关系
- 可导一定连续
如果函数f(x)f(x)f(x)在点xxx处可导，那么函数在该点必连续 - 连续不一定可导
反例——y=∣x∣y=|x|y=∣x∣和y=x3y=\sqrt[3]{x}y=3x
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