Codeforces 图论板刷总结（更新中）
图论太菜了呀，那怎么办呀，刷点题吧，写下来可以以后复习？或者造福后人？这blog估计也没什么用？
大概就从这开始刷吧：Link
简单题解
- 786B 区间图最段路
- 741C 构造题 二分图
- 567E 最短路DAG必经边
- 527E 欧拉回路
- 1147D 建图 划分等价类
- 724D 图 线性基
- 1023F 生成树 思维
- 571C 建图 定向 思维
- 627D 二分 DP
- 85E 二分 染色
- 542E 推理
- 141E 拟阵推理
- 266D 直接做
- 825G 拓扑排序 贪心
- 241E 差分约束 输出方案
- 8E 数位DP
- 1209F Dij最短路+字典树比字典序
- 346D SPFA
- 480D DP
- 132E 最小费用流：DAG的某种带权覆盖？
- 358E 欧拉路径
- 311C 最短路
- 813F 时间线段树 + 可撤销带权并查集
- 1218D 仙人掌 + FWT
- 45H 树补成边双
786B 区间图最段路
没啥好说的，标准的区间图最短路，建议整理板子。我的板子：Link
741C 构造题 二分图
很容易被搞到2-sat上去，但是猜到一定有解的情况下， 构造出二分图就做完了。我反正智商是没了。
567E 最短路DAG必经边
可以通过方案数来确定一条边是否必经，最好双模，曾经被卡过QAQ。简单题。
527E 欧拉回路
首先容易想到要先把每个点的度数补成偶数，这是必要的。然后这个条件就让人想到存在欧拉回路，然后构造答案：如果回路长度是奇数，增加一个自环，变成偶数。偶数则直接给边按照左右左右这样定向就做完了。我反正智商又没了。
大概就是把欧拉回路类比成简单环去考虑吧，这样就比较容易想到这样构造了？
1147D 建图 划分等价类
首先要枚举a的位数，因为a前边那些0是不参与回文的。将a，b的每一位取0，1分别建一个点，总共4n个点，然后回文，异或这两个条件会产生一些等价条件，使用并查集维护。然后还有一些值已经确定了，比如b首位是1，a前边若干个0，然后有一位是1，在检查完合法性之后，剩下的自由元可以任意取值，答案就是一个2的幂次。
有点类似于2-sat吧，但是因为这里是等价关系（双向边），就比较简单了。数自由元需要用到图是对称的。
724D 图 线性基
这个题比较套路。。有三个要素：无向图，路径长度定义为异或和，不必要简单路径。
这三个东西导致了一个套路：两点间的所有路径的值可以由任意一条路径的值，再经过任意的环组合。那我们只需要将所有的环的路径值加入到线性基里面，就可以轻松处理答案了。
而环是不可能全找出来的，但是由于一个环可以由其他的环组合出来，且要维护的是异或基，因此只需要找到一些基环（基向量），让他们足够来组合（张成）出所有的环（向量）即可。
1023F 生成树 思维
给边定值的时候，边的考虑顺序不会影响答案。
（原图只需要保留一个mst）证明：假设有两条虚线的边是我们的边，红色蓝色紫色都是原树的边，现在想要同时加入这两个虚线边。首先显然加一条边的时候，需要把这个边的值定为树上路径上的最小值，同时删掉树上那个最小的边。
那么只需要讨论两条路径上要删掉的那个最小边的位置，很容易就能证明。
由于输入已经排好序了，直接并查集。
571C 建图 定向 思维
一些预处理是很简单的：如果一个变量只出现了aaa或者只出现了∼a\sim a∼a，则可直接确定这个变量的取值，然后将该合取式删除，这会导致一些新的变量出现上边这样的情况，所以要跑一个拓扑排序。
剩下的就只有每个变量在一个合取式中是aaa，在另一个合取式中是∼a\sim a∼a，显然这个aaa变量只能使得一个合取式得到满足，因此我们在这两个合取式间连一个边，我们要做的是给边定向，使得每个点都至少有一个入度，显然树是非法的（只有n-1个边，只能满足n-1个合取式），其他都是合法的，任意找一个环，然后先把环定向，其他的就搞一个基环外向树。
题目中每个变量至多出现在两个合取式的条件，已经明示了做法，想到建图就做完了。
627D 二分 DP
二分+DP，有一些细节需要仔细讨论一下。
85E 二分 染色
最大值最小，直接二分答案，然后在不满足条件的点之间连边，然后要求这个图可以二染色，直接dfs走一遍check就行，一个连通块方案数为2，因此总方案数是2component2^{component}2component.
542E 推理
容易从三元环发现只要存在奇数长度的环，则一定是-1，这等价于判断能否二染色。
然后这个题很重要的东西就是环了，容易观察到一些结论：1如果有多个连通块，则答案是各个连通块的和，2如果是一棵树，答案就是直径，3长度为2n的裸环答案是n（对折）。再分析一下就能发现：以任意两点为链的端点，链长将等于这两点的最短路，因为他是最短的，没办法附体到其他的链上。然后就做完了。
141E 拟阵推理
先求只用S边的生成森林，然后再加入一些M边，变成一棵树，这些M边是必选的。
然后重新再来一次，先加入必选的M边，然后再加入一些M边，使得M边总数达到一半。
之后再尝试加入所有S边，即得到答案。
严格证明要用拟阵推。
所以我为什么乱搞谢了个 随机边权+wqs二分？？仿佛一个睿智。
266D 直接做
开始想到很多骚操作，但是你画一个环就能全否掉，基本都用了树的性质，不能推广到一般图。
这题就是找图的绝对重心（我看其他博客是这么叫的？） 做法肯定是枚举每一条边(u,v,w)(u,v,w)(u,v,w)，求这条边上的答案。很不幸，答案没有三分性质。设重心点和uuu的距离是LLL，则答案= min{max{min(dis[i][u]+L,dis[i][v]+w−L)}}\min{\{\max{{\{\min(dis[i][u] + L,dis[i][v] + w - L)\}}}}\}min{max{min(dis[i][u]+L,dis[i][v]+w−L)}}
最内层的那个东西是一个天线函数，然后多个天线函数取max，然后求这个图像的最小值。直接做就行了。
825G 拓扑排序 贪心
直接拓扑排序，每个点贪心选择。
241E 差分约束 输出方案
每条边(u,v)(u,v)(u,v)，转换成两个约束dis[u]≤dis[v]−1dis[u] \le dis[v] - 1dis[u]≤dis[v]−1和dis[v]≤dis[u]+2dis[v] \le dis[u] + 2dis[v]≤dis[u]+2，然后注意先跑两遍把1-n的DAG子图抠出来，然后跑差分约束，并输出方案。
8E 数位DP
这题是个数位DP啊？
但强行图论也能做，但是不能过。首先我们建8n8n8n个点，分别代表原串、反串、逆串、逆反串每个位置是0还是1，然后逐位确定来求字典序，求方案数的时候，只需要把所有限制关系（包括四个串本身的对应关系，以及字典序限制，字典序直接n3n^3n3枚举决定字典序的位置）用并查集合并出来，然后检查完所有冲突之后，数自由元的数量，答案就是一个2的幂。但是这样是O(8∗n5)O(8*n^5)O(8∗n5)很难过。
1209F Dij最短路+字典树比字典序
用字典树存每个点的完整答案，然后跑Dijkstra最短路，需要字典树支持比较两个点的串字典序的操作，那当然是求lca了，用st倍增动态维护就好了。比赛时候没调出来，system test完就调对了。
346D SPFA
如果是DAG的话好做。dp[u]=min{max{dp[v]},min{dp[v]}+1}dp[u] = \min{\{\max{\{dp[v]\}},\min{\{dp[v]\} + 1} \}}dp[u]=min{max{dp[v]},min{dp[v]}+1}
但是这个题是有向图。别问，问就SPFA。不想写了。
480D DP
如题 DP。直接在DAG上DP很不方便，转成时间区间做DP。非要说跟图有啥关系的话呢。。这个DP很像是树的dfs序DP。
132E 最小费用流：DAG的某种带权覆盖？
根据题意可以很容易作出一个完全图DAG：对于任意点对(i<j)(i < j)(i<j)，连接一条iii到jjj的边，如果a[i]=a[j]a[i] = a[j]a[i]=a[j]，则边权是0，否则是popcount(a[j])popcount(a[j])popcount(a[j])。再来一个超级起点SSS，SSS连向所有点iii，边权是popcount(a[i])popcount(a[i])popcount(a[i])。
那么这题求的就是，选出至多mmm个边不相交的路径，使得每个点被覆盖且只覆盖一次，最小化边的权值总和。
建图方法是：每个点拆成两个点：入点AAA，和出点BBB，连接一条(cost=−inf,flow=1)(cost = -inf, flow = 1)(cost=−inf,flow=1)的从AAA到BBB的边，然后跑最小费用流（不是最小费用最大流），这样可以保证所有cost=−infcost = -infcost=−inf的边都被用过，即实现了点的覆盖的要求。
然后输出方案。。。
358E 欧拉路径
找到图中最长的连续1，则答案只可能是该长度的因子，只有根号种，每种判断即可，注意细节，判定等价于关键点图上存在欧拉路径。
311C 最短路
因为kkk小，只需要求出%k=i\%k = i%k=i的点能到达的最小点是什么，其他更大的%k=i\%k=i%k=i的点都是可以从这个点+v⋅k+v\cdot k+v⋅k到达。建图跑最短路即可。剩下的随便用优先队列做就行了。
813F 时间线段树 + 可撤销带权并查集
如题。
1218D 仙人掌 + FWT
只有42个环的仙人掌，求异或意义下的最小生成树计数，也就是每个环选一个边删掉，直接42个FWT卷积出来方案数，然后就是类似字典树找异或最小值，实现的时候不需要lca数据结构，也不需要字典树，简单粗暴就行了。
这题还卡了方案数%Mod=0\%Mod=0%Mod=0的情况。
一般的仙人掌 也可以做啊？，复杂度不坏于O(B∗M∗2B)O(\sqrt{B * M} * 2^B)O(B∗M∗2B)。
45H 树补成边双
先把原图缩成树，然后答案是(叶子+1)/2，先随便扔掉一个点，剩下偶数个点按照dfs序排序，然后分成前一半和后一半，按照顺序相互连边，最后那个单独的随便连。
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