弗雷歇距离的原理及python代码实现（动态规划）

在网上看了很多关于弗雷歇距离的介绍，结合自己的理解，出一版更通俗易懂、更清晰具体的解释。

最简单的解释自然是最短狗绳长度，但我将从另一个角度来解释它。

图中人牵着狗在走，人走直线，狗走得自由且散漫。为了能拴住狗，任何时刻狗绳的长度都应该大于人狗距离，于是有最短狗绳长度等于最大人狗距离。

现在我们假定人只能走蓝色轨道，狗只能走红色轨道且都只能向前走，但是具体怎么走——中途停不停、走多快是未知的，然后我们对时间进行采样，将得到人、狗轨迹的离散序列，计算两序列中对应离散点的距离，距离的最大值即这一次遛狗所需的最短狗绳长度。

基于这个理解，上图显示的便是一次遛狗所得到的人、狗轨迹离散序列，虚线连接了两序列中对应的离散点，最大虚线长度便是这次遛狗所需的最短狗绳长度。下一次遛狗得到的离散序列可能就大不相同，例如，人走到中间时，狗已经走到红色轨道的终点并在那等着主人，那么这一次遛狗所需的最短狗绳长度就大于上一次的。在无数次遛狗中，最短狗绳长度的最小值就是弗雷歇距离！

注：对于两条连续轨迹，不可能遍历所有人狗轨迹离散序列，因此只能求下界，对于两条离散轨迹，取最小值即可。

动态规划计算弗雷歇距离：

设甲、乙两人的离散轨迹序列分别为Ta、Tb，Ta、Tb的长度分别为M、N，两轨迹之间的弗雷歇距离为Fd[M][N]。假设Ta、Tb的最后一个点分别是A、B，那么可以有三种行走情形：

甲、乙两人都在最后时刻到达终点A、B，那么此时Fd[M][N] = max(Fd[M-1][N-1], d(A,B))
甲先到达终点A并在那等着乙到达终点B，那么此时Fd[M][N] = max(Fd[M][N-1], d(A,B))
乙先到达终点B并在那等着甲到达终点A，那么此时Fd[M][N] = max(Fd[M-1][N], d(A,B))

由此我们可以得到传递函数：
Fd[i][j]={d(Ta[i],Tb[j])i=j=1max(Fd[i][j−1],d(Ta[i],Tb[j]))i=1,j>1max(Fd[i−1][j],d(Ta[i],Tb[j]))i>1,j=1max(min(Fd[i−1][j−1],Fd[i−1][j],Fd[i][j−1]),d(Ta[i],Tb[j]))i>1,j>1Fd[i][j]=\left\{ \begin{array}{lcl} d(Ta[i],Tb[j]) & & {i=j=1}\\ max(Fd[i][j-1],d(Ta[i],Tb[j])) & & {i=1, j>1}\\ max(Fd[i-1][j],d(Ta[i],Tb[j])) & & {i>1, j=1}\\ max(min(Fd[i-1][j-1],Fd[i-1][j],Fd[i][j-1]),d(Ta[i],Tb[j])) & & {i>1, j>1}\\ \end{array} \right. Fd[i][j]=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧d(Ta[i],Tb[j])max(Fd[i][j−1],d(Ta[i],Tb[j]))max(Fd[i−1][j],d(Ta[i],Tb[j]))max(min(Fd[i−1][j−1],Fd[i−1][j],Fd[i][j−1]),d(Ta[i],Tb[j]))i=j=1i=1,j>1i>1,j=1i>1,j>1

min(max(Fd[i−1][j−1],d(Ta[i],Tb[j])),max(Fd[i−1][j],d(Ta[i],Tb[j])),max(Fd[i][j−1],d(Ta[i],Tb[j])))=max(min(Fd[i−1][j−1],Fd[i−1][j],Fd[i][j−1]),d(Ta[i],Tb[j]))\begin{array}{lcl} min(max(Fd[i-1][j-1],d(Ta[i],Tb[j])), max(Fd[i-1][j],d(Ta[i],Tb[j])),max(Fd[i][j-1],d(Ta[i],Tb[j])))\\=max(min(Fd[i-1][j-1],Fd[i-1][j],Fd[i][j-1]),d(Ta[i],Tb[j])) \end{array} min(max(Fd[i−1][j−1],d(Ta[i],Tb[j])),max(Fd[i−1][j],d(Ta[i],Tb[j])),max(Fd[i][j−1],d(Ta[i],Tb[j])))=max(min(Fd[i−1][j−1],Fd[i−1][j],Fd[i][j−1]),d(Ta[i],Tb[j]))

python代码实现(https://blog.csdn.net/qq_42517334/article/details/103506868)：

import math
import numpy as npdef calculate_euclid(point_a, point_b):"""Args:point_a: a data point of curve_apoint_b: a data point of curve_bReturn:The Euclid distance between point_a and point_b"""return math.sqrt((point_a - point_b) ** 2)def calculate_frechet_distance(dp, i, j, curve_a, curve_b):"""Args:dp: The distance matrixi: The index of curve_aj: The index of curve_bcurve_a: The data sequence of curve_acurve_b: The data sequence of curve_bReturn:The frechet distance between curve_a[i] and curve_b[j]"""if dp[i][j] > -1:return dp[i][j]elif i == 0 and j == 0:dp[i][j] = calculate_euclid(curve_a[0], curve_b[0])elif i > 0 and j == 0:dp[i][j] = max(calculate_frechet_distance(dp, i - 1, 0, curve_a, curve_b),calculate_euclid(curve_a[i], curve_b[0]))elif i == 0 and j > 0:dp[i][j] = max(calculate_frechet_distance(dp, 0, j - 1, curve_a, curve_b),calculate_euclid(curve_a[0], curve_b[j]))elif i > 0 and j > 0:dp[i][j] = max(min(calculate_frechet_distance(dp, i - 1, j, curve_a, curve_b),calculate_frechet_distance(dp, i - 1, j - 1, curve_a, curve_b),calculate_frechet_distance(dp, i, j - 1, curve_a, curve_b)),calculate_euclid(curve_a[i], curve_b[j]))else:dp[i][j] = float("inf")return dp[i][j]def get_similarity(curve_a, curve_b):dp = [[-1 for _ in range(len(curve_b))] for _ in range(len(curve_a))]similarity = calculate_frechet_distance(dp, len(curve_a) - 1, len(curve_b) - 1, curve_a, curve_b)# return max(np.array(dp).reshape(-1, 1))[0]return similarityif __name__ == '__main__':Ta = [1, 2, 3, 4]Tb = [7, 8, 9]print(get_similarity(Ta, Tb))

Reference：

数学定义

代码来源

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