BZOJ1143[CTSC2008] 祭祀river
原题链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1143
祭祀river
Description
在遥远的东方,有一个神秘的民族,自称Y族。他们世代居住在水面上,奉龙王为神。每逢重大庆典, Y族都会在水面上举办盛大的祭祀活动。我们可以把Y族居住地水系看成一个由岔口和河道组成的网络。每条河道连接着两个岔口,并且水在河道内按照一个固定的方向流动。显然,水系中不会有环流(下图描述一个环流的例子)。
由于人数众多的原因,Y族的祭祀活动会在多个岔口上同时举行。出于对龙王的尊重,这些祭祀地点的选择必须非常慎重。准确地说,Y族人认为,如果水流可以从一个祭祀点流到另外一个祭祀点,那么祭祀就会失去它神圣的意义。族长希望在保持祭祀神圣性的基础上,选择尽可能多的祭祀的地点。
Input
第一行包含两个用空格隔开的整数N、M,分别表示岔口和河道的数目,岔口从1到N编号。
接下来M行,每行包含两个用空格隔开的整数u、v,描述一条连接岔口u和岔口v的河道,水流方向为自u向v。
N≤100M≤1000
Output
第一行包含一个整数K,表示最多能选取的祭祀点的个数。
Sample Input
4 4
1 2
3 4
3 2
4 2
Sample Output
2
HINT
【样例说明】
在样例给出的水系中,不存在一种方法能够选择三个或者三个以上的祭祀点。包含两个祭祀点的测试点的方案有两种:
选择岔口1与岔口3(如样例输出第二行),选择岔口1与岔口4。
水流可以从任意岔口流至岔口2。如果在岔口2建立祭祀点,那么任意其他岔口都不能建立祭祀点。
但是在最优的一种祭祀点的选取方案中我们可以建立两个祭祀点,所以岔口2不能建立祭祀点。对于其他岔口至少存在一个最优方案选择该岔口为祭祀点,所以输出为1011。
题解
这道题求的是最长反链,在DAGDAG\mathcal{DAG}中与最小链覆盖等价。
但我们不能直接求出最小链覆盖,所以先用一个FloydFloyd\mathcal{Floyd}传递闭包将能到达的点直接连在一起,新建的图上的最小路径覆盖等于原图的最小链覆盖。
怎么求最小路径覆盖呢???
我们将每个点拆成两份,如果可达则连边,样例建出来的图如下,图中边权都为111:
建图可以这么理解:初始每个点位单独的链,每流过一单位流量就相当于把一条链接到另一条链上,链的数目−1" role="presentation" style="position: relative;">−1−1-1,所以最终答案为n−maxflown−maxflown-maxflow。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=10005,inf=0x3f3f3f3f;
struct sd{int to,fl;}ed[M];
bool sq[M][M];
int s,t,n,m,id,d[M];
vector<int>mmp[M];
queue<int>dui;
void add(int f,int t,int w){mmp[f].push_back(id);ed[id++]=(sd){t,w};mmp[t].push_back(id);ed[id++]=(sd){f,0};}
bool bfs()
{memset(d,0,sizeof(d));d[s]=1;dui.push(s);int hh,to,fl,f;while(!dui.empty()){f=dui.front();dui.pop();for(int i=mmp[f].size()-1;i>=0;--i){hh=mmp[f][i],to=ed[hh].to,fl=ed[hh].fl;if(d[to]||!fl)continue;d[to]=d[f]+1;dui.push(to);}}return d[t];
}
int dfs(int v,int e,int minn)
{if(v==e||!minn)return minn;int ans=0,tmp,hh,fl,to;for(int i=mmp[v].size()-1;i>=0;--i){hh=mmp[v][i],to=ed[hh].to,fl=ed[hh].fl;if(d[to]!=d[v]+1||!fl)continue;tmp=dfs(to,e,min(fl,minn-ans));if(!tmp)continue;ed[hh].fl-=tmp,ed[hh^1].fl+=tmp;ans+=tmp;}return ans;
}
void in(){int a,b;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%d%d",&a,&b),sq[a][b]=1;}
void ac()
{t=(n<<1)+1;int ans=0;for(int j=1;j<=n;++j)for(int i=1;i<=n;++i)for(int k=1;k<=n;++k)if(sq[i][j]&&sq[j][k])sq[i][k]=1;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=j&&sq[i][j])add(i,j+n,1);for(int i=1;i<=n;++i)add(s,i,1),add(i+n,t,1);while(bfs())ans+=dfs(s,t,inf);printf("%d",n-ans);
}
int main(){in();ac();}
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