BZOJ4872: [Shoi2017]分手是祝愿

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Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为

从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏

的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被

改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机

操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，

可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个

策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使

用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定

是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。

接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

Output

输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0
0 0 1 1

Sample Output

512

HINT

Source

感觉自己还是突破不了对省选题的恐惧心理

这题50分(实际80)暴力其实是很好想的

但是因为自己没怎么学过期望，所以一看到期望这两字就直接把这题弃了

思路：

对于每个灯来说，操作两次的结果与不操作相同的

因此我们可以预处理出初始局面需要的操作次数

约数的话直接$O(nlogn)$vector暴力求

这样的话最暴力的想法就是从大的向小的依次枚举，实际这就是最优策略

用$dp[i]$表示对于$n$盏灯，从需要按$i$次能全部熄灭到按$i-1$次能全部熄灭的期望

考虑这一次的情况

有$\frac{i}{n}$的概率按到需要按的灯，此时的期望为$\frac{i}{n}*1$

有$\frac{n-i}{n}$的概率按到不需要按的灯，此时的期望为$\frac{n-i}{n}*(dp[i]+dp[i+1]+1)$

那么$dp[i]=\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}*(dp[i]+dp[i+1]+1)$

化简一下

$dp[i]=\frac{n}{i}+\frac{(n-i)dp[i+1]}{i}$

这样就可以线性递推了

注意推的时候从$n$推就可以，因为最优状态下需要的操作次数一定小于等于$n$

答案为$n!\sum_{i=1}^{need}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
const int mod=100003;
//#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
//int buf[1<<20],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read()
{char c=getchar();int x=0,f=1;while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
int N,k;
int a[MAXN];
vector<int>Yue[MAXN];
int need;
int dp[MAXN],inv[MAXN];
int fastpow(int a,int p)
{int base=1;while(p){if(p&1) base=(base*a)%mod;a=(a*a)%mod;p>>=1;}return base%mod;
}
main()
{#ifdef WIN32freopen("a.in","r",stdin);#endifN=read();k=read();inv[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++) inv[i] = ((-(mod/i)*inv[mod%i]%mod)+mod)%mod;for(int i=1;i<=N;i++) a[i]=read();for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=i;j<=N;j+=i)Yue[j].push_back(i);for(int i=N;i>=1;i--)if(a[i]){for(int j=0;j<Yue[i].size();j++)a[Yue[i][j]]^=1;need++;}dp[N]=1;for(int i=N-1;i>k;i--) dp[i]=(N+(N-i)*dp[i+1])*inv[i]%mod;for(int i=k;i>=1;i--) dp[i]=1;int ans=0;for(int i=1;i<=need;i++) ans=(ans+dp[i])%mod;for(int i=1;i<=N;i++) ans=(ans*i)%mod;printf("%lld",ans);return 0;
}

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